Релятивистский КУРВИМЕТР

[aa_dav]

12d3 в сообщении #951941 писал(а):

Немного не в тему. А будут ли спицы прямыми в исо, где курвиметр вращается? Как это можно было бы посчитать?

По идее нет, по крайней мере не всегда. Вертикальная спица должна быть прямой, т.к. находится в обоих ИСО в одной координате по оси (пусть Y) по которой меняется одновременность. А вот если рассмотреть горизонтальную спицу, то в ИСО колеса она одновременно находится в разных координатах вдоль оси Y. Значит в ИСО, которая движется относительно неё по оси Y точки спицы будут находится вдоль этой линии неодновременно - сперва задние, потом передние. Для этого они должны быть изогнуты.

P.S.

Тьфу, недопонял вопрос. В ИСО курвиметра можно сделать всё прямо как есть, просто задав такой закон движения спицам какой нужно. В других ИСО при этом они могут быть изогнутыми.

[Someone]

12d3 в сообщении #951941 писал(а):

А будут ли спицы прямыми в исо, где курвиметр вращается?

Если он в одной ИСО вращается, то в другой ИСО он тоже вращается.
В той ИСО, где центр колеса покоится, спицы будут прямыми по определению вращения. Из-за того, что движение спицы не является инерциальным, в другой ИСО спица может и не быть прямолинейной.

[rustot]

xinef в сообщении #951946 писал(а):

Тогда объясните мне, как могут точки, находящиеся на концах движущегося стержня сблизиться, а расстояние между движущимися вслед друг за другом шарами - увеличиться?

зависит от скорости движения этих точек. в завимости от этого в другой исо расстояние между ними может стать больше, может меньше. если концы стержня и шары движутся с одной и той же скоростью (вектор) и взаимным расположением, то в другой исо расстояние изменится одинаково

[12d3]

Someone в сообщении #951949 писал(а):

В той ИСО, где центр колеса покоится, спицы будут прямыми по определению вращения.

По определению вращения, координаты каждой точки должны изменяться по закону $x=r\cos(\omega t + \varphi_0),\,\,y=r\sin(\omega t + \varphi_0)$. В классической механике, ежели спица абсолютно твердая, то легко показать, что спица прямая будет (из соображений того, что расстояние между точками неизменно). Если тело деформируемое, то рассуждение будет чуть длиннее, тоже спицы получатся прямые, потому что силы инерции во вращающейся СО имеют только радиальную составляющую.
А что делать в СТО, мне неочевидно. Может, я упускаю какое-то простое рассуждение, из которого следует прямота спиц?

[rustot]

12d3 в сообщении #951958 писал(а):

А что делать в СТО, мне неочевидно. Может, я упускаю какое-то простое рассуждение, из которого следует прямота спиц?

не понимаю как теория может повлиять на то, какой формы вы изготовите тело. какое захотите такое и изготовите. изготовите колесо из прямых спиц оно и будет из прямых. вот как то же самое, изготовленное вами, будет выглядеть относительно другой исо, это уже теория ответит. а как оно выглядит в одной из исо - это начальные условия, задаваемые вами

[Someone]

12d3 в сообщении #951958 писал(а):

Может, я упускаю какое-то простое рассуждение, из которого следует прямота спиц?

12d3 в сообщении #951958 писал(а):

По определению вращения, координаты каждой точки должны изменяться по закону $x=r\cos(\omega t + \varphi_0),\,\,y=r\sin(\omega t + \varphi_0)$.

[12d3]

rustot в сообщении #951960 писал(а):

а как оно выглядит в одной из исо - это начальные условия, задаваемые вами

Мои начальные условие таковы: есть колесо со спицами. Если оно неподвижно в некоторой ИСО, то спицы прямые, я таким его изготовил. А потом мы это колесо раскрутили до некоторой скорости и смотрим, что будет.

[rustot]

12d3 в сообщении #951966 писал(а):

Если оно неподвижно в некоторой ИСО, то спицы прямые, я таким его изготовил. А потом мы это колесо раскрутили до некоторой скорости и смотрим, что будет.

а, вопрос что произойдет с телом в результате приложения сил, а не в результате переноса описания в другую исо? как именно оно деформируется, сопромат и все такое? ну сто вносит свои коррективы в связь угловой скорости с деформирующими силами, но по окончанию ускорения и переходных процессов я не вижу причин для каких либо изменений кроме небольшого радиального растяжения, чуть другой величины чем в классике. могут впрочем и необратимо погнуться если угловое ускорение слишком большое, тоже аналогично классике, но с другими численными величинами

в любом случае вам ничто не мешает сначала изготовить, раскрутить и уже потом доводить колесо до требуемой геометрии напильником. и рассматривать задачу именно с вращающимся колесом из прямых спиц заданной длины, а не нагружать эту задачу сопроматом

[DESIGNER]

rustot в сообщении #951936 писал(а):

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

что собственная длина окружности больше $2\pi r$

нет, в этой системе отсчета периметр эллипса на котором мгновенно располагаются все кончики спиц МЕНЬШЕ чем $2\pi r$. но кончики спиц двигаются по нему неравномерно, с переменной угловой скоростью, внизу с большим шагом вверху с малым, поэтому если самый большой шаг между ними умножить на их количество, то получается $\gamma 2 \pi r > 2 \pi r$, но это произведение не является длиной периметра.

Я же писал не о периметре колеса в системе отсчета неподвижного отрезка, а о собственной длине окружности. Конечно периметр колеса в какой либо СО другой, но он не может превышать собственную длину его окружности. При движении колеса по неподвижному отрезку, прикладываемый к нему сегмент $AB$ окружности - неподвижен, поэтому обязан иметь собственную длину. В вашем (совершенно правильном согласно СТО) расчете получается, что сумма всех $N$ собственных значений длины сегментов окружности больше $2\pi r$.

rustot в сообщении #951936 писал(а):

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Представленный вами расчет соответствует случаю, когда курвиметр представляет собой не набор спиц,

как так? я именно для кончиков спиц сделал рассчет, для их конечного количества. для диска пришлось бы переходить к бесконечному их количеству и пределам и всяким деформациям и напряжениям, но вы облегчили мне задачу, сделав ее более наглядной без лишних сущностей

Совершенно верно, я намеренно убрал обод колеса из рассмотрения, чтобы облегчить рассмотрение, и не только вам, но и всем . Но ваше решение (результат, а не расчет) не соответствует самой же СТО, т.к. отрезок $AB$ получается больше своей собственной длины.

rustot в сообщении #951936 писал(а):

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Если же колесо представляет собой набор спиц, то причин увеличивать длину (относительно своей собственной длины) у сегмента, соприкасающегося с измеряемым отрезком, - нет.

вот поэтому и не надо решать задачи в сто путем "наложения эффектов" и не размышлять есть тут причины наложить эффект или нет причин. считайте в лоб, преобразуйте уравнения движения интересующих вас точек из исо в исо, а "эффекты наложатся" автоматически. преобразуйте уравнения движения двух не связанных друг с другом мух и тогда выясните "есть причины" к изменению расстояния между ними в новой исо или их нет

Задачи решать можно по-разному, но вот физический смысл в физических задачах необходим.

rustot в сообщении #951936 писал(а):

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Можете назвать физическую причину удлинения отрезка, когда на него не действуют никакие силы?

движение материальных точек, берущихся в качестве его краев, с разной скоростью. вполне физическая причина. скорость одинакова - разность координат $\int (\vec{v_1}-\vec{v_2}) dt$ не меняется, иначе меняется. преобразовав скорости двух независимых точек в другую исо вы обнаруживаете что они разные

Точки $A$ и $B$ не независимы, они жестко связаны с центром колеса.

-- 26.12.2014, 08:01 --

aa_dav в сообщении #951454 писал(а):

Здесь вот что происходит. Относительность одновременности гласит, что когда в нижней ИСО точки А и В соприкоснулись с отрезком одновременно в верхней ИСО сперва отрезка касается точка А, и позже через некоторое время точка В,

Точки $A$ и $B$ касаются отрезка не одновременно в обоих ИСО . Но в обоих ИСО в момент касания второй точки и отрезка - первая точка уже соприкасается с отрезком, удовлетворяя тем самым требование одновременного прикладывания концов линейки к измеряемому отрезку.

-- 26.12.2014, 08:46 --

xinef в сообщении #951937 писал(а):

Я думаю, что система со спицами - эквивалентна диску, потому, что расстояние между спицами жестко определено их связью на оси- это не независимое движение двух тел.

Насчет жесткости связи в центре колеса вы совершенно правы, и конечно, концы спиц не являются независимыми. Но система спиц НЕ эквивалентна диску. На вращающемся диске происходит растяжение (упругая деформация) в каждой его точке, кроме центра вращения. Соответственно на ободе диска все его участки растянуты в $\gamma$ раз. Поэтому, если мы рассуждаем физически, когда диск катится по измеряемому отрезку и его участок, соприкасающийся с отрезком, неподвижен, то он отмеряет на отрезке в $\gamma$ раз больший интервал, т.к. растянут (его растягивают претерпевающие Лоренцево сокращение другие участки обода). Если же колесо представляет собой набор спиц, то причин для растяжения неподвижного сегмента нет.

Здесь можно возразить, что центр колеса не математическая точка и должен иметь хоть и малый, но размер, поэтому Лоренцево сокращение его частей может влиять на величину отрезка $AB$. Это легко учесть. Пусть центр колеса является сколь угодно малым, но сплошным диском. Т.к. этот диск имеет сколь угодно малый размер, то линейная скорость точек его обода сколь угодно мала по сравнению со скоростью поступательного движения этого диска как целого. Это означает, что релятивистских эффектов, связанных с вращением этого маленького диска нет, т.е. преобладают релятивистские эффекты, связанные с его движением как целого. При движении же этого диска как целого все его продольные размеры сокращаются, значит сокращается и бесконечно малый участок его обода, связывающий две соседние спицы, которые в данный момент соприкасаются с измеряемым отрезком. Таким образом, Лоренцево сокращение центра курвиметра может привести только к уменьшению отрезка $AB$, соприкасающегося с измеряемым отрезком. Но этот эффект только усугубляет противоречие, т.к. длина отрезка в ИСО, где он неподвижен, становится не равной, а большей, чем $N$, в то время как в ИСО неподвижного центра курвиметра длина отрезка $n < N$.

[DESIGNER]

Someone в сообщении #951938 писал(а):

DESIGNER в сообщении #951934 писал(а):

Все, что вы написали - верно (с точки зрения теории относительности). Но при этом, в системе отсчета, где неподвижен измеряемый отрезок, получается, что собственная длина окружности больше $2\pi r$

Так и есть: собственная длина вращающейся окружности больше $2\pi r$.

Вы неправильно рассуждаете.
В той ИСО, где измеряемый отрезок покоится, посмотрите на кусочек окружности вблизи точки касания. Этот кусочек тоже покоится (не считая очень медленного движения в направлении, перпендикулярном отрезку), поэтому имеет естественную длину. Как и измеряемый отрезок. Если окружность была в состоянии покоя размечена на миллиметровые деления, и так же был размечен измеряемый отрезок, то деления на отрезке и на окружности будут соответствовать друг другу.
Теперь посмотрим на то же самое в системе отсчёта, где покоится центр катящегося колеса. В этой системе отсчёта измеряемый отрезок и касающийся его кусочек окружности движутся с одинаковой скоростью, равной скорости центра колеса (естественно, с противоположным знаком). Поэтому они сокращаются в равной мере, и опять деления на отрезке и на окружности будут соответствовать друг другу.
Поэтому результат измерения не будет зависеть от того, в какой системе отсчёта мы будем на него смотреть.

Полностью согласен с вашими доводами по поводу ИСО, где покоится отрезок!
Но вот в ИСО, где неподвижен центр колеса, отрезку $AB$, соприкасающемуся с измеряемым отрезком, не суждено сократиться в силу симметрии ситуации. Колесо полностью центрально-симметрично и его вращение не может изменить этого положения. Радиус колеса остался тем же, количество спиц не изменилось, следовательно и расстояние между кончиками спиц не изменилось (со сравнению с собственным расстоянием).

P/S
Я думаю у вас хорошая физическая интуиция, которая для физика важна больше, чем математическая подготовка (хотя и она тоже важна). Делаю такой вывод на основе обсуждения парадокса близнецов, где путешественник разворачивается по окружности.

-- 26.12.2014, 09:48 --

В качестве лирического отступления хочу показать, как отличаются подходы физика и математика к решению задач.
Задача:
Имеется замкнутый многогранник произвольной формы (может быть выпуклым или вогнутым, каким угодно, и с произвольным числом граней). Из каждой грани многогранника наружу торчит вектор. Каждый такой вектор перпендикулярен своей грани, а по величине равен площади этой грани. Найти сумму всех этих векторов.

Подход математика … Скорее всего надо ввести какую-то систему координат, рассмотреть проекции граней и векторов на координатные плоскости, найти какие-то закономерности, и т.д. (короче, как решить эту задачу чисто математически я не знаю, да и не интересно в общем-то).

Подход физика … Пусть наш многогранник жесткий. Накачаем его воздухом. Сила, действующая на каждую грань многогранника (за счет внутреннего давления) прямо пропорциональна площади грани и перпендикулярна этой грани (вспомним теперь про векторы из условия задачи). Т.к. многогранник не может начать ускоряться под действием внутреннего давления, то значит сумма всех сил, действующих на его грани, равна НУЛЮ. Ответ: сумма векторов равна нулю.

[aa_dav]

DESIGNER в сообщении #952445 писал(а):

следовательно и расстояние между кончиками спиц не изменилось (со сравнению с собственным расстоянием).

Ошибка здесь, причём ВСЁ уже было написано выше, просто внимательнее читайте. Вам прямо сказали что собственная длина АБ не равна длине АБ в системе колеса минимум 2 раза и по каким причинам это происходит. Вместо того чтобы сесть за ПЛ или вникнуть в предложенные формулы или хотя бы качественно понять ситуацию через относительность одновременности вы тупо игнорируете сказанное и плетете какие то пространные неверные изначально рассуждения. Прислушайтесь.

[rustot]

DESIGNER в сообщении #952443 писал(а):

В вашем (совершенно правильном согласно СТО) расчете

DESIGNER в сообщении #952443 писал(а):

Но ваше решение (результат, а не расчет) не соответствует самой же СТО, т.к. отрезок $AB$ получается больше своей собственной длины.

нет, он в точности соответствует СТО, но не соответствует вашим неверным представлениям о СТО, сложившимся на основе анализа всевозможных "эффектов" и размышлений когда и как их нужно применять.

расстояние между материальными точками A и B согласно СТО может при переходе в другую исо как увеличиться так и уменьшиться, это зависит от скорости этих материальных точек. если в одной исо они двигались с почти одинаковой скоростью а в другой почти покоятся, то расстояние безусловно увеличится - как раз ваш случай двух кончиков спиц внизу.

DESIGNER в сообщении #952443 писал(а):

Точки $A$ и $B$ не независимы, они жестко связаны с центром колеса.

с точки зрения СТО это не имеет никакого значения. рядом с этим "жестко связанными" концами ничто не запрещает постоянно находиться никак не связанным с ними мухам, и никакие преобразования не могут взять и отодвинуть муху от "своего" кончика спицы, сделав расстояние между мухами другим чем между спицами. в одной исо предметы все время касаются друг друга, а в другой уже не касаются - такого не может быть

DESIGNER в сообщении #952445 писал(а):

Колесо полностью центрально-симметрично и его вращение не может изменить этого положения.

вращающееся колесо может быть центрально симметрично только в одной исо. я вам рассмотрел обе ситуации, когда оно симметрично в исо с покоящейся осью и когда оно симметрично в исо с покоящейся картой. в обоих случаях при переходе в другую исо не только пропорции его периметра меняются, но и спицы изгибаются. выше и ниже оси их одновременно находится разное количество. поэтому если вы делали какие то логические выводы из "очевидной" симметрии, то вы ошиблись с ее очевидностью. кувыркающаяся прямая палка в других исо уже не является прямой

[Someone]

DESIGNER в сообщении #952445 писал(а):

Полностью согласен с вашими доводами по поводу ИСО, где покоится отрезок!
Но вот в ИСО, где неподвижен центр колеса, отрезку $AB$, соприкасающемуся с измеряемым отрезком, не суждено сократиться в силу симметрии ситуации.

Идиотствуете? Отрезок дуги, соприкасающийся с измеряемым отрезком, движется в этой ИСО точно с такой же скоростью, как измеряемый отрезок, поэтому и сокращается точно так же.

[zvm]

rustot в сообщении #952458 писал(а):

кувыркающаяся прямая палка в других исо уже не является прямой

Что-то я в этом утверждении засомневался. Мне казалось, что, в силу линейности преобразований Лоренца, все прямолинейное остается прямолинейным. Можно показать, как этот факт выводится?

[rustot]

zvm в сообщении #952553 писал(а):

Что-то я в этом утверждении засомневался. Мне казалось, что, в силу линейности преобразований Лоренца, все прямолинейное остается прямолинейным. Можно показать, как этот факт выводится?

а где тут что прямолиненое? все точки палки движутся неинерциально. преобразуете уравнения движения трех соседних в другую исо и убеждаетесь что они уже не лежат на одной прямой

горизонтальная палка приземляется на горизонтальную плоскость. в исо, в которой палка имеет дополнительную скорость по горизонтали, она уже не параллельна плоскости и если часть ее уже приземлилась и стала горизонтально, то она получается с изломом. опять неинерциальное движение при остановке

таких примеров миллион. прямым останутся прямыми только при инерциальном движении