удар частицы об стенку

[Red_Herring]

sup в сообщении #951470 писал(а):

Если бы у задачи была единственность решения и непрерывность от начальных данных то этот факт вряд ли бы кого смутило.

И в Вашем примере, и в примере Тейлора единственности как раз и нет: из одной и той же точки фазового пространства выходят как и решение-попрыгунчик (испытывающее на любом участке $(0,\epsilon)$ бесконечное число отражений), так и решение, прилипшее к границе.

Другой пример: если область вогнутая. Какая, казалось ны здесь трудность, решений прилипших к границе просто нет? — А почему, собственно? Это должно быть заложено в условия. И как раз задачи геометрической оптики, возникающие при распространении особенностей волнового уравнения показывают что оба варианта возможны: если мы рассматриваем распространение $C^\infty$ особенностей (или особенностей Жевре с показателем $>3$), то таких решений действительно рассматривать не надо. А если мы рассматриваем распространение аналитических особенностей (или особенностей Жевре с показателем $<3$), то такие решения (ползучие лучи, creeping rays) рассматривать надо и при этом помнить, что они могут отлипнуть от границы в любой момент, т.е. единственности опять-таки нет.

[Oleg Zubelevich]

Все зависит от того как вопрос ставить. Объяснить что значит "угол падения равен углу отражения" можно и в гильбертовом пространстве, в смысле в бесконечномерном

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #951502 писал(а):

Объяснить что значит "угол падения равен углу отражения" можно и в гильбертовом пространстве, в смысле в бесконечномерном

Не всегда. Вот пример. В пространстве $L_2(0,1)$ рассмотрим множество $K$ функций, которые почти всюду по модулю не превосходят 1. Как определить отражение от границы?
Например для волнового уравнения. Проблема заключается в том, что производная $u'(t)$ в точке $t$ принадлежит одному пространству - $L_2(0,1)$, а решение другому - $W_2^1(0,1)$. Множество $K$ задано в $W_2^1(0,1)$. Нормали в $L_2(0,1)$ у него нет. Тем не менее, записать условие сохранения энергии при ударе можно.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #951506 писал(а):

Не всегда.

ну разумеется не всегда, так и в конечномерном пространстве к произвольному множеству нельзя определить нормаль и касательную. В роли стенки должно быть достаточно регулярное гипермногообразие.

sup в сообщении #951506 писал(а):

длежит одному пространству - $L_2(0,1)$, а решение другому - $W_2^1(0,1)$

правильно, надо гамильтонов формализм применять и рассматривать задачу на прямом произведении

[sup]

Как бы то ни было, но дать условие для абсолютно упругого удара в терминах точечных условий для волнового уравнения не получается. А интегральное условие - легко. Я, собственно, только об этом и говорил.
Поскольку я начал рассматривать абстрактное уравнение, то меня заинтересовал и вопрос с абсолютно неупругим ударом. Можно ли и его как-то определить неким "естественным" образом. В одномерном случае - можно. Попробовал рассмотреть многомерный и наткнулся на проблемы. Вообще проблема углов в этой задаче стоит крайне остро. С технической точки зрения, они способствуют неконтролируемому переносу энергии в дальние гармоники, что в пределе способно и вовсе уничтожить часть энергии (потеря абсолютно упругого удара). В частности, вылезло такое экзотическое условие: граница $\partial K$ должна быть секвенциально слабо замкнута. Иными словами, выдерживает слабые переходы к пределу. При этих условиях я могу доказать разрешимость абстрактной задачи. Но не могу доказать сохранение энергии. Для этого нужно еще более жесткое условие из той же серии. Которое, кстати, отчасти выглядит как гладкость границы $\partial K$, только существенно более жесткое.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #951521 писал(а):

Вообще проблема углов в этой задаче стоит крайне остро.

Я не очень понимаю, что это значит. В конечномерной динамике все знают, что удар об угол некорректен. Я не видел статей посвященных ударам об угол.

sup в сообщении #951521 писал(а):

В одномерном случае - можно. Попробовал рассмотреть многомерный и наткнулся на проблемы.

Это опять непонятная фраза. Многомерный в смысале конечномерный? Если конечномерный, то , модель неупругого удара -- вещь стандартная из учебника. Теоремы существования тоже давольно очевидны, единственности нет-- да нет, но какими условиями отсекать эти извращенские примеры тоже , думаю, не сложно сообразить.

sup в сообщении #951495 писал(а):

я. Для мембраны это движение заготовки под прессом, например. Для струны - под стенкой. Вообще стационарные задачи с ограничением очень хорошо известны. У Лионса

что-то я опять не понимаю, а задача об ударе это разве стационарная задача?

[sup]

Нет, не стационарная. Здесь "дефект речи". Я хотел сказать следующее. Стационарные задачи для монотонных операторов - хорошо известная вещь. Ну, например, как прогнется мембрана в присутствии помехи. А вот аналогичные задачи для эволюционных уравнений практически не изучены. Но это не значит, что это никому не интересно.
Типичная постановка задачи: решаем уравнение
$Lu = f$
$u \in K$,
где $K$ - замкнутое выпуклое множество в каком-то пространстве. При этом нет никаких разговоров о геометрии $K$. Есть там углы или нет. До сих пор никого это не интересовало. А тут вдруг выясняется, что это может иметь значение. Вот для стационарных задач - не важно, а для эволюционных может быть важно. Можно, конечно, обозвать это извращением. А лучше и вовсе плюнуть на эти задачи. Но если все-же задуматься, то придется искать подходящие условия. Пример я Вам уже приводил. Колебание струны или мембраны под стенкой. Как Вы намерены отличать упругие удары струны об стенку от неупругих? Для кусочно-гладких решений можно как-то говорить о линиях разрыва производных и там задавать некие соотношения. А если нет таких линий разрыва?
Более того, я же сказал, что заинтересовался абстрактными уравнениями. Мне стало интересно, есть ли там такие понятия как абсолютно упругий и неупругий удар. Вот поэтому я и стал рассматривать какие-то конечномерные аналоги. В бесконечномерных множествах понятие гладкости и негладкости границы весьма расплывчато, поскольку одно и то же множество можно рассматривать в разных пространствах. Хотелось бы потренироваться на чем-нибудь попроще.
Вот Вам пример на отрезке $(-1,1)$
$u_{tt} - u_{xx} = f(x,t)$
$u(0,t) \leqslant 1$.
Это пример удара об гиперплоскость в $W_2^1(-1,1)$. Есть тут неупругий удар или нет? Как это определить (в смысле дать определение)? Можно ли считать границу этого множества гладкой? И как мне помогут стандартные теоремы из учебника?

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #951580 писал(а):

Как Вы намерены отличать упругие удары струны об стенку от неупругих?

Понятия не имею, более того ,думаю, что это очень сложная в первую очередь физическая задача. И пытаться формализовать эту задачу простым приписыванием неравенств к волновому уравнению, на мой взгляд, крайне наивно.

[sup]

Не более наивная, чем моделировать колебания гитарной струны тем самым волновым уравнением. Это просто модель и не более того. И задача с ударами - модель. На этих моделях и хочется понять чего здесь можно ожидать. И нерастяжимые нити модель и многое другое модель. Никто ведь не отказывается от их использования, только лишь потому, что это наивная попытка заменить реальный корабельный канат.
Я и не претендовал на написание учебника по ударам струны или мембраны об стенку. Я лишь хочу понять какие задачи для них можно ставить, а какие нет.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $s$ -- лагранжева координата на струне. Положение точек струны характеризуется радиус-вектором $\overline r(t,s)=(x,y)(t,s)$ И пусть $\{y=c\}$ -- стенка, $y\le c$ -- допустимая область.
В правую часть уравнений движения струны добавим массовую силу

$$\overline F_\epsilon=-\frac{\epsilon}{c-y}\overline e_y,\quad \epsilon>0.$$

Если удастся доказать, что последовательность решений уравнения сходится в каком то смысле при $\epsilon\to 0$ то можно говорить о решении задачи со стенкой с абсолютно упругим отскоком струны. А еще правильнее доказать, что сходимость имеет место для класса функций $F$ понятно с какими свойствами.
В таком же духе можно построить модель неупругого оскока.

-- Ср дек 24, 2014 21:18:55 --

sup в сообщении #951521 писал(а):

удара в терминах точечных условий для волнового уравнения не получается. А интегральное условие - легко.

а как оно выглядит?

[sup]

Для волнового уравнения закон сохранения энергии выглядит так (в смысле распределений)

$$\frac{\partial}{\partial t}(u_t^2+u_x^2) - 2\frac{\partial}{\partial x}(u_xu_t) = 2fu_t$$

т.е. такой же, как и просто для уравнения без всяких стенок. Это может показаться странным, но так вот.
Есть работа M. Schatzman (Vibrating string with concave obstacle), где она рассматривает уравнение с нулевой правой частью и доказывает существование и единственность такого решения. Существенно то, что правая часть нулевая и вогнутость препятствия. Правда, прямая стенка допускается. К слову, на простейшие примеры того, как устроено решение можно посмотреть именно в случае прямой стенки. Берем "нормальное" решение и все что вылезло над стенкой просто зеркально отражаем вниз. Некоторое время это и будет решением. Потом уже такой простой прием не работает. Потом эта конструкция вместе с изломами начнет отходить от стенки, потом ... потом каша. Но вот Schatzman таки разобралась.

Что касается Вашего определения, то обращаю Ваше внимание, что оно не свелось к какой-то простой проверке точечных условий на каких-то-там линиях разрыва. Собственно говоря, я изначально и предполагал, что решение следует определять как некий предел решений с "пружинами" или еще чем. Я могу предложить совсем простые конструкции со штрафом. Проблема лишь в том (и я об этом говорил), как доказать хоть какую-то сходимость. Уж и не говоря о конкретной.
В этом и трудность задачи. Вообще неясно как доказывать сходимость приближенных решений. Оценок на вторые производные нет и их не может быть. Без этого начисто не работает метод компактности. Возникающая квадратичная форма невыпуклая, значит не работает метод монотонности. Все, приплыли. Стандартные методы не работают. Потому и результатов нет.

Вот просто написать какие-то правдоподобные уравнения со штрафом очень просто. Пусть стенка - это неравенство $u \leqslant 1$. Тогда уравнение со штрафом для упругого удара

$$u_{tt} - u_{xx} + \frac{1}{\varepsilon}(u-1)^+ =f$$

А вот для неупругого

$$u_{tt} - u_{xx} + \frac{1}{\varepsilon}u_t^+(u-1)^+ =f$$

Я могу доказать, что при $\varepsilon \to 0$ решения этих задач (на некой последовательности $\varepsilon_k$)сходятся к решению вариационного неравенства.
Но не могу выяснить, что там происходит с энергией. Судя по всему, это то что надо. Но это просто болтовня, а доказательства нет. Для двумерного волнового уравнения даже и сходимость не обоснована. В размерностях 2,3 можно обосновать сходимость для уравнения с бигармоническим оператором.

$$u_{tt} + \Delta^2u + \frac{1}{\varepsilon}(u-1)^+ =f$$

Нечего и говорить, что я не знаю, что там с ударом. Ну хотя бы существование могу доказать. Хоть какого-то решения.
Проблемы со сходимостью есть даже для одномерного ОДУ. Там надо исследовать нелинейное уравнение второго порядка с параметром. Потом по параметру надо переходить к пределу. Вот и возникнут проблемы. А просто составить решение из кусочков для произвольной $f(t)$ не получится.

-- Чт дек 25, 2014 01:10:52 --

Да, уточнение. У Schatzman стенка снизу. Это важно. Если стенка сверху, то она должна быть выпуклой.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #951733 писал(а):

то касается Вашего определения, то обращаю Ваше внимание, что оно не свелось к какой-то простой проверке точечных условий на каких-то-там линиях разрыва

извините,я пока не понял во-первых где интегральное условие, о котором Вы говорили, и что Вы разумеете под точечтными условиями?

-- Чт дек 25, 2014 00:35:16 --

sup в сообщении #951733 писал(а):

сле распределений)

$$\frac{\partial}{\partial t}(u_t^2+u_x^2) - 2\frac{\partial}{\partial x}(u_xu_t) = 2fu_t$$

Вы это называете интегральными условиями на разрыве? я кстати правильно понимаю, что это условие с точностью до добавления $c(x)$ пишется?

-- Чт дек 25, 2014 00:55:34 --

sup в сообщении #951607 писал(а):

Не более наивная, чем моделировать колебания гитарной струны тем самым волновым уравнением.

Это так к слову. Это неправильная постановка вопроса. Физик Вам на это скажет, что моделирование гитарной струны волновым уравнением согласовано с многочисленными экспериментами. А Вы решаете другую задачу. У Вас есть данные о согласованности Вашей модели с реальностью? Цифры эксперименты?

[Red_Herring]

sup в сообщении #951733 писал(а):

Для волнового уравнения закон сохранения энергии выглядит так (в смысле распределений)

$$\frac{\partial}{\partial t}(u_t^2+u_x^2) - 2\frac{\partial}{\partial x}(u_xu_t) = 2fu_t$$

Это означает, что

$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi -2fu_t\phi\Bigr]dxdt=0$$

для любой основной функции $\phi$.

[Oleg Zubelevich]

Да, я там дурацкий вопрос про c(x) задал.

-- Чт дек 25, 2014 02:02:21 --

Но с какой стати то тождество является условием абсолютно упрогого удара непонятно по-прежнему.

-- Чт дек 25, 2014 02:04:32 --

sup в сообщении #951733 писал(а):

M. Schatzman (Vibrating string with concave obstacle),

не нашел даже ссылок

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #951865 писал(а):

Но с какой стати то тождество является условием абсолютно упрогого удара непонятно по-прежнему.

Если $f=0$ то мы получаем закон сохранения энергии (или точнее, уравнение неразрывности для неё).