Какое max количество 4-х угольников в 8-ми угольнике

[ИСН]

А какая разница? Ваше рассуждение нигде не использует того факта, что точек больше одной.

[timber]

Ну хорошо. Тогда так.

Допустим $x$ - искомое количество 4-х угольников, a $k$ - несколько точек (неизвестно сколько именно) внутри 8-ми угольника. Тогда, по формуле Эйлера получаем $x=1+n-k$. Отсюда видно, что $x$ - максимально, когда $k$ - минимально. Очевидно, из условия, что $k\geqslant2$. Следовательно $x=1+n-2=n-1$.

[ИСН]

Ну, если Вы восемью отрезками сделаете 7 четырёхугольников, то ОК.

[Evgenjy]

timber
1 Вы считаете условие, что 8-ми угольник правильный, является лишним?
2 Могут ли отрезки пересекаться?

[hippie]

2 главных вопроса:
Могут ли отмеченные точки лежать на проведённых отрезках или на сторонах восьмиугольника?
Могут ли отрезки пересекаться?

Например, проведено 4 отрезка.
Если не разрешено ни то ни другое, то не более 4 четырёхугольников. (В ситуации общего положения — всегда ровно 4.)
Если разрешено чтобы точки лежали на проведённых отрезках или на сторонах восьмиугольника, то можно получить 5 четырёхугольников.
Если же, кроме того, допускается чтобы отрезки пересекались, то можно получить 9 четырёхугольников.

[ИСН]

По-моему, очевидно, что нет и нет.

[grizzly]

ИСН в сообщении #951368 писал(а):

По-моему, очевидно, что нет и нет.

А насколько тогда принципиально, что в условии задачи восьмиугольник правильный? Чистая эстетика? Но если отрезки могут пересекаться, тогда это условие может иметь какое-то значение.

Впрочем, я по-прежнему считаю задачу продуктом либо народного творчества, либо испорченного телефона.

[Someone]

hippie в сообщении #951216 писал(а):

Если не разрешено ни то ни другое, то не более 4 четырёхугольников.

\begin{xy} (0,0)*{\bullet}; (20,0)*{\bullet};(14,14)*{\bullet};(0,20)*{\bullet};(-14,14)*{\bullet};(-20,0)*{\bullet};(-14,-14)*{\bullet};(0,-20)*{\bullet};(14,-14)*{\bullet}; (10,0)*{\bullet};(7,7)*{\bullet};(0,10)*{\bullet};(-7,7)*{\bullet};(-10,0)*{\bullet};(-7,-7)*{\bullet};(0,-10)*{\bullet};(7,-7)*{\bullet}; (0,20);(0,-20)**@{-};(14,14);(7,7);**@{-};(-14,-14);(-7,-7)**@{-};(-14,14);(-7,7);**@{-};(-14,14);(-7,7)**@{-};(14,-14);(7,-7);**@{-}; (20,0)\PATH~={**\dir{-}}'(14,14)'(0,20)'(-14,14)'(-20,0)'(-14,-14)'(0,-20)'(14,-14)'(20,0)'(10,0)'(7,7)'(0,10)'(-7,7)'(-10,0)'(-7,-7)'(0,-10)'(7,-7)'(10,0)(-20,0); \end{xy}

Эту фигуру можно достраивать, увеличивая количество четырёхугольников.

hippie в сообщении #951216 писал(а):

Могут ли отмеченные точки лежать на проведённых отрезках или на сторонах восьмиугольника?

Могут ли отрезки пересекаться?

Наиболее логичный вариант такой.
Имеется правильный (или просто выпуклый) восьмиугольник. Внутри него выбирается некоторое количество точек и проводится некоторое количество ($n$ штук) отрезков. Концами отрезков могут быть выбранные точки и вершины заданного восьмиугольника. Отрезки не могут иметь друг с другом и со сторонами восьмиугольника других общих точек, кроме вершин восьмиугольника и выбранных внутри него точек. "Четырёхугольник" надо понимать как часть плоскости, граница которой состоит из четырёх отрезков (считая и стороны восьмиугольника), не разбиваемую на части другими отрезками. В частности, допустим такой "четырёхугольник":

\begin{xy} (0,0)*{\bullet};(10,0)*{\bullet};(0,10)*{\bullet};(-10,0)*{\bullet}; (-10,0)\PATH~={**\dir{-}}'(10,0)'(0,10)(-10,0); \end{xy}

[grizzly]

Someone
hippie говорил только для примера о такой ситуации:

hippie в сообщении #951216 писал(а):

Например, проведено 4 отрезка.

Спасибо за грамотную формулировку задачи, которую теперь действительно может быть интересно порешать. Вот только это

Someone в сообщении #951409 писал(а):

В частности, допустим такой "четырёхугольник":
...

вызывает некоторые сомнения. Конечно, в Вашем условии это оговорено абсолютно корректно. Но чем может быть вызвана необходимость такого обобщения? Разве в рамках стандартного определения произвольного (выпуклого и невыпуклого) четырёхугольника мы не получим те же решения и ответы? (Но если идея решения становится проще / красивее -- тогда конечно.)

[Someone]

grizzly в сообщении #951421 писал(а):

Но чем может быть вызвана необходимость такого обобщения?

Удобствами рисования.

grizzly в сообщении #951421 писал(а):

Разве в рамках стандартного определения произвольного (выпуклого и невыпуклого) четырёхугольника мы не получим те же решения и ответы?

Получим. Чуть-чуть пошевелите точки, чтобы никакие три не лежали на одной прямой.

[hippie]

Someone в сообщении #951409 писал(а):

Наиболее логичный вариант такой.
Имеется правильный (или просто выпуклый) восьмиугольник. Внутри него выбирается некоторое количество точек и проводится некоторое количество ($n$ штук) отрезков. Концами отрезков могут быть выбранные точки и вершины заданного восьмиугольника. Отрезки не могут иметь друг с другом и со сторонами восьмиугольника других общих точек, кроме вершин восьмиугольника и выбранных внутри него точек. "Четырёхугольник" надо понимать как часть плоскости, граница которой состоит из четырёх отрезков (считая и стороны восьмиугольника), не разбиваемую на части другими отрезками.

Сначала я так и воспринял исходную формулировку. Но тогда задача получается слишком простой:
Сколько четырёхугольников имеют в сумме $2n+8$ сторон?
Поэтому я и стал искать более содержательную формулировку.

[ИСН]

Не надо более содержательной. Задача достаточно сложна, чтобы топикстартер решил её неправильно и оставался в полной уверенности, что так и надо. Так что ОК.

[timber]

ИСН в сообщении #951472 писал(а):

Не надо более содержательной. Задача достаточно сложна, чтобы топикстартер решил её неправильно и оставался в полной уверенности, что так и надо. Так что ОК.

Топикастер может ошибаться. Топикастер думает.

[timber]

По-моему, хотя могу и ошибаться, решение будет таким: максимальное количество 4-х угольников $x=(n-4)/2$.

[ИСН]

То есть с помощью 6 отрезков мы сможем разрезать на максимум один 4-угольник? Я хочу это видеть. Можно картинку?