удар частицы об стенку

[sup]

Предлагаю рассмотреть классическую задачу из механики.
Пусть на полуоси $x \geqslant 0$ под действием внешней силы движется частица

$$\ddot{x}(t) = f(t)$$

В точке $x=0$ находится стенка. Действие стенки приводит к возникновению силы реакции, вследствие чего уравнение движения приобретает вид

$$\ddot{x}(t) = f(t) + h(t),$$

где $h(t) \geqslant 0$ - распределение с носителем в множестве $Z = \{t|x(t) = 0\}$. Решением задачи называется пара $(x(t),h(t))$.
Пусть $f(t)\in L_2(0,T)$ и заданы начальные данные $x(0) = x_0 > 0$, $\dot{x}(0) = x_1$. Требуется доказать существование решения задачи на интервале $(0,T)$ с абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударом частицы об стенку (единственности ни того ни другого решения в этой задаче в общем случае нет).
Абсолютно упругий удар означает, что функция $\dot{x}^2(t)$ непрерывна.
Абсолютно неупругий удар означает, что функция $\dot{x}^+(t)$ непрерывна, где $(\cdot)^+$ - положительная срезка.

Тем, кому эта задача показалась интересной, предлагаю сначала обобщить ее на случай движения частицы в единичном шаре $B \subset R^n$, а затем и замахнуться на Вильяма нашего на единичный шар в $\ell_2$.
Отмечу характерную особенность этой задачи. При всей своей внешней простоте, задача, на самом деле, нелинейная. И для "шаблонного" решения хотелось бы иметь оценку на вторую производную $\ddot{x}(t)$. Однако такой оценки быть в принципе не может, поскольку скорость, очевидным образом, рвется в момент удара. Отсутствие такой оценки изрядно отравляет жизнь. В конечномерном случае сравнительно легко получить какое-то решение, но сравнительно трудно установить свойства взаимодействия частицы со стенкой. В бесконечномерном случае даже сходимость приближенных решений под вопросом.

[Oleg Zubelevich]

в абсолютно упругом случае я бы предложил ввести стандартную декартову систему координат $(x,y)$ и рассматривать частицу, которая движется без трения по кривой $(\epsilon^2-y^2)x=1,\quad |y|<\epsilon$ под действием силы $f_\epsilon(t)\overline e_x$, где $f_\epsilon$ -- гладкая аппроксимация $f$ по норме $L^2$. Дальше следить за последовательностью решений при $\epsilon\to 0$. Естественно, там какую-то технику нужно применить, чтоб перейти к пределу.

sup в сообщении #951176 писал(а):

Предлагаю рассмотреть классическую задачу из механики.

а в каких текстах такая задача рассматривается?

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #951250 писал(а):

а в каких текстах такая задача рассматривается?

В том то и дело, что я не видел математический анализ такой задачи. А между тем, в физике это чуть ли не самый первый пример применения закона сохранения энергии и импульса (правда при $f=0$). Казалось бы, ну все мы решали такие задачи с бильярдными шарами и стенками. Вот я и сформулировал такую задачу.
В принципе, есть и более "интересные" задачи, навроде
$u_{tt} - \Delta u = f$
$u(x,t) \leqslant m(x)$
но там результатов очень мало, почти ничего нет. Задача трудная. Задача так и ставится с дополнительными силами реакции в виде распределения с носителем в множестве $\{u(x,t) = m(x)\}$. Абсолютно упругий удар соответствует закону сохранения энергии (локально) и его можно записать в виде некого тождества (в смысле распределений). А вот с абсолютно неупругим ударом - проблемы. Можно, конечно, писать некие условия на линиях разрыва. Но для этого нужны эти самые линии разрыва. Хотелось бы без них ... С помощью интегральных тождеств или неравенств.
Я как-то уже говорил, что здесь можно писать вариационные неравенства. Но дело осложняется тем, что там в одну кучу валятся ВСЕ решения и упругие и неупругие. По идее, нужно дополнительно разбираться, что там такое получается. Но хотя бы просто доказать существование.

Вообще, задачи такого рода (вар. неравенства) можно решать с помощью метода штрафа. Что эквивалентно замене стенки жесткой пружиной. Потом жесткость устремляем к бесконечности. Одномерный случай относительно простой. Но отсутствие хороших оценок все-таки мешает. Так получаем упругое решение.

[Oleg Zubelevich]

при неупругом ударе тем более должны быть энергетические оценки

[sup]

Я имел в виду именно тождества или неравенства которые характеризуют абсолютно неупругий удар. Крайне нежелательно выписывать такие соотношения в виде "скорость до удара ... скорость после удара". Вот для одномерного случая такую характеристику дать можно - в терминах непрерывности некой проекции скорости. Эта непрерывность означает, что сразу же после удара скорость равна 0. Это как раз и отвечает нашему представлению об абсолютно неупругом ударе. Это условие можно дать и в интегральном виде

$$ \int \limits_0^t (2f(s)\dot{x}^+(s)\varphi(s) + \varphi'(s)(\dot{x}^+(s))^2)ds = 0$$

с пробной финитной функцией $\varphi(t)$ (для простоты я там не пишу следы).
В многомерном случае уже возникают проблемы. Если граница гладкая, то можно говорить о нормали и по аналогии можно сформулировать условие с непрерывностью. А вот если есть угол, то я не знаю что делать. Для острого угла еще куда ни шло. А вот для тупого угла проблемы. Дело в том, что в углах целая куча опорных функционалов. Для каких из них надо требовать условие с непрерывностью? Для всех требовать нельзя. Но может взять только крайние точки? Тоже нельзя. Значит надо что-то другое. Или такая постановка (абсолютно неупругий удар) не имеет однозначного смысла. Я склоняюсь именно к такому варианту.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #951314 писал(а):

Крайне нежелательно выписывать такие соотношения в виде "скорость до удара ... скорость после удара".

почему нежелательно?

[Red_Herring]

Мне кажется что исходная задача в размерности >1 несёт в себе "evil seeds".

Прежде всего, почему мы классифицируем идеальные стенки по одному критерию (упругая/неупругая)? Можно также (гладая/шершавая), где упругость/неупругость означает что нормальная компонента скорости меняет знак/зануляется, а гладкость/шершавость—что тангенциальная сохраняется/зануляется.

Но даже при абсолютно упругой гладкой стенке (и только её я обсуждаю ниже, причём при $f(t)=0$) не всё абсолютно чисто даже без углов. Известны двумерные примеры (где-то с 60х), в которых стенка вогнутая и $C^\infty$ и имеет точку абсолютного уплощения, в окрестности которой кривизна достигает бесконечного числа минимума и максимума, и математический биллиард испытывает бесконечное число отражений за конечное время. Т.е. даже в этом случае биллиардный поток становится многозначным.

В углах же (даже если вне углов граница плоская) можно считать (1) что частица исчезает (2) что она раздваивается, в зависимости от какой стенки отразилась (если угол тупой, то при каких-то траекториях частица просто мажет мимо стенки) (3) частица размножается отражаясь от одной из опорных плоскостей (в волновых задачах это круговая волна). В размерности $3$ всё ещё более усложняется поскольку естественно рассматривать многогранные углы (тогда наряду с отраженными и цилиндрическими волнами возникают сферические) и конические точки (тогда наряду с отраженными волнами возникают сферические).

Для специалистов по эргодической теории всё это неважно: мера множества точек фазового пространства, из которых выходят плохие траектории, равна 0.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #951415 писал(а):

Известны двумерные примеры (где-то с 60х), в которых стенка вогнутая и $C^\infty$ и имеет точку абсолютного уплощения, в окрестности которой кривизна достигает бесконечного числа минимум

а где про это почитать?

[Red_Herring]

Section 6 статьи Taylor, M. E., Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equations, Comm. Pure Appl. Math., 29, 1976, pp. 1–38.

Поэтому в таких областях биллиардный поток или задан на множестве дополнением к которому является м-во меры 0 и первой категории, или многозначен

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #951376 писал(а):

почему нежелательно?

Потому, что такие критерии можно применять только к кусочно-непрерывным функциям (с разрывами первого рода). Для систем ОДУ это еще проходит. А вот для уравнений в частных производных уже нет. Вот, например, при колебаниях струны мы должны иметь линию разрыва, и на берегах разрыва некое условие. А уж какие там берега, если функции из $L_{\infty}(0,T;L_2(0,1))$. Да, в простых случаях такая линия есть и на ней можно отследить знаки скоростей и т.п. Но это в простых случаях. Гораздо лучше обстоят дела, когда условие задано в виде интегрального тождества. Там никакие линии не нужны.

Red_Herring в сообщении #951415 писал(а):

и математический биллиард испытывает бесконечное число отражений за конечное время.

Я не думаю, что само по себе бесконечное количество ударов - это какая-то катастрофа. Если бы у задачи была единственность решения и непрерывность от начальных данных то этот факт вряд ли бы кого смутило. (Допускаю, что случай $f=0$ может быть особым). В конце-концов, для произвольной $f$ организовать какие-то удары - пара пустяков. Но единственности решения нет.

(пример)

Простейший пример с абсолютно упругим ударом выглядит так.
На отрезке $[1,2]$ определим гладкую функцию $u(t)$, со следующими свойствами. Для некоторых $\varepsilon > 0, 0 <\gamma < 1/8$
1. $f(t) = u''(t) \leqslant 0$.
2. На отрезке $[2-\varepsilon,2]$ справедливо равенство $u(t) = 2 - t$.
3. На отрезке $[1,1+\varepsilon]$ справедливо равенство $u(t) = \gamma(t - 1)$.
Ну а теперь продолжим эти функцию на отрезок $[0,1]$ с помощью формул
$f(t) = 2\gamma f(2t)$
$u(t) = \gamma/2 u(2t)$, $y(0) = 0$. Легко проверить, что получилась гладкая функции $f$ и вне точек удара $u$ (гладкость можно повышать, уменьшая $\gamma$), которые "как надо" обращаются в 0 в нуле. Легко видеть, что $u(t)$ - решение нашей задачи с заданной $f$, и удар абсолютно упругий. Однако, поскольку $f(t) \leqslant 0$, у задачи есть еще одно "очевидное" решение $u(t) \equiv 0$.

Как мне представляется, дело обстоит следующим образом. В "реальной" жизни никаких абсолютных ударов и др., конечно, нет. Поэтому "настоящая" модель должна учитывать всякие дополнительные параметры/слагаемые, вроде конечной жесткости, вязкоупругости и многое другое. В этих уравнениях, к слову, проблем обычно нет. Но зато присутствуют разные "большие" или "малые" параметры. Весьма соблазнительно идеализировать такую задачу, получить у нее решение, а затем заявить, что решение исходной задачи близко к этой самой идеальной. Ну так вот в данном случае эта затея провалилась. Скорее всего, при определенных обстоятельствах, решение "настоящей" задачи начнет проявлять неустойчивость. При малых изменениях оно начнет "скакать", выбирая то один сценарий то другой. Для систем ОДУ это еще как-то можно отслеживать. Для уравнений в частных производных возникают очень серьезные проблемы. В частности, изначально даже вообще не ясно, а будет ли хоть какая-нибудь сходимость на какой-нибудь подпоследовательности. Можно привести некоторые примеры, когда при малом изменении начальных данных сильной сходимости нет, а слабый предел либо теряет энергию (прощай абсолютно упругий удар) либо вообще не является решением.
Но ведь что-то делать все равно надо.

[Skeptic]

Как изменится направление разгоняющей силы после удара?

[sup]

Не понял вопрос. Никак не изменится. Сила - заданная функция времени.

[Skeptic]

Сила так же задаётся направлением.
Если тело свободно падает, то при отскоке изменится направление движения тела, а разгоняющая сила (сила тяжести) не изменится по направлению, и будет действовать на тело под другим углом, чем до отскока. Это повлечёт изменение ускорения.
Можно представить разгоняющую силу, связаную с телом. Тогда после отскока направление силы будет совпадать с направлением движения. Ускорение будет всегда направлено в направлении движения тела.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #951470 писал(а):

А вот для уравнений в частных производных уже нет.

трудно говорить обо всем сразу :) Ваши ОДУ из стартового поста вполне тривиально решаются именно склейками решения до и после удара.

-- Ср дек 24, 2014 10:53:50 --

Red_Herring в сообщении #951462 писал(а):

ion 6 статьи Taylor, M. E., Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equations, Comm. Pure Appl. Math., 29, 1976, pp. 1–38.

спасибо

-- Ср дек 24, 2014 11:08:35 --

sup в сообщении #951470 писал(а):

Но ведь что-то делать все равно надо.

а каковы физические мотивации для волнового уравнения, например?

[sup]

Skeptic в сообщении #951484 писал(а):

Если тело свободно падает, то при отскоке изменится направление движения тела, а разгоняющая сила (сила тяжести) не изменится по направлению, и будет действовать на тело под другим углом, чем до отскока. Это повлечёт изменение ускорения.

Ускорение как было направлено вниз (для силы тяжести) так и останется. Что такое "будет действовать под другим углом" я не понимаю. Изменится угол между направлением скорости и направлением силы тяжести? Да, это так. Если уж Вам так хочется, можно рассматривать поле сил как $f(x,t)$. Оно вообще не привязано к телу, а скорее к каждой точке пространства.

Oleg Zubelevich в сообщении #951488 писал(а):

я не вижу в Ваших задачах частных производных, эти задачи вполне тривиально решаются именно склейками решения до и после удара.

Если Вас не интересует дальнейшее обобщение на уравнения с частными производными, то можно обойтись некими условиями в точках разрыва. С этим я не спорю. Условие непрерывности чего-то-там как раз из этой серии. Просто даже для ОДУ проще рассуждать в терминах обобщенных производных. И пределы проще совершать под интегралом. В частности, для данной задачи непрерывность можно доказывать тем, что соответствующая функция обладает обобщенной производной. Конечно, это вовсе не значит, что по другому сделать невозможно. Если заметите, я употребил слово нежелательно. Именно в том смысле, что хотелось бы обойтись без точечных условий. Их трудно перенести на более общий случай.

(Оффтоп)

Лично меня куда более интересует общий случай
$u''(t) + Au(t) = f$
$u \in K$
где дело происходит в неких гильбертовых пространствах. Закон сохранения энергии там записать можно. А вот условия на краях разрыва - затруднительно.

-- Ср дек 24, 2014 14:30:53 --

Oleg Zubelevich
Виноват, упустил Ваше последнее сообщение.
Мотивация простая. Для мембраны это движение заготовки под прессом, например. Для струны - под стенкой. Вообще стационарные задачи с ограничением очень хорошо известны. У Лионса целый раздел есть про вариационные неравенства для монотонных операторов. Не могу сказать, что прям уж без этих задач жизнь не мила. Но это не значит, что таких задач нет.