Школьная задача по теории чисел

[Qazed]

Поправлено

$$(x-y+1)^2 = \left( 2y-\dfrac{1}{4} \right)^2 - \dfrac{33}{16} $$

[Aritaborian]

А это что ещё за бред?

[provincialka]

Aritaborian, почему бред? Если не нравятся дробные коэффициенты, можно умножить на 16.

[ИСН]

Ага, спасибо. Теперь надо сделать то же самое, только правильно, потом перенести оба квадрата в одну часть и да, умножить на 16.

[Qazed]

Да. Извините, ошибся. Сейчас поправлю

-- 22.12.2014, 00:36 --

$$ 16\left(2y-\dfrac{1}{4}\right)^2 - 16 (x-y+1)^2=33 $$

[arseniiv]

Осталось одну двойку из 16 вытащить и запереть в скобках, наказав умножиться. [Переопределено, а ещё я квадрат с корнем перепутал.]

[ИСН]

Затащите 16 в квадраты.

[Qazed]

$$ (8y-1)^2 - (4x-4y+4)^2=33 $$

[Aritaborian]

Извините, был рассеян. Каюсь.

[ИСН]

Ну вот видите, как здорово. Осталось только найти способы представления 33 в виде разности квадратов. Знаете, как это связано с разложением на множители?

[Qazed]

ИСН в сообщении #950513 писал(а):

Знаете, как это связано с разложением на множители?

Чего-то умного не знаю, но могу пробовать перебором. Быть может по формуле $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$?

[provincialka]

Именно. И перебор (если вы ТОТ перебор имеете в виду) совсем небольшой.

[arseniiv]

А если бы 1 была чётной, перебор даже не понадобился бы…

[Qazed]

Простите, уже поздно и я плохо соображаю, потому просто решил в CAS:
$(a=-17\land b=-16)\lor (a=-17\land b=16)\lor (a=-7\land b=-4)\lor(a=-7\land b=4)\lor (a=7\land b=-4)\lor (a=7\land b=4)\lor (a=17\land b=-16)\lor (a=17\land b=16)$
Спасибо за ответы

$(x=-7\land y=-2)\lor \left(x=-\frac{11}{4}\land y=-\frac{3}{4}\right)\lor \left(x=-\frac{11}{4}\land y=\frac{9}{4}\right)\lor \\ (x=-1\land y=1)\lor \left(x=-\frac{3}{4}\land y=-\frac{3}{4}\right)\lor (x=1\land y=-2)\lor (x=1\land y=1) \\ \lor \left(x=\frac{21}{4}\land y=\frac{9}{4}\right)$ --- все решения

$(x=-7\land y=-2)\lor (x=-1\land y=1)\lor (x=1\land y=-2)\lor (x=1\land y=1)$ --- целочисленные

[ИСН]

Читер!