Диффур

[Hsad]

Здравствуйте.
Имеем:
$\frac {1+xy} {x^2y} dx+\frac {1-xy} {xy^2} dy=0$
Очень похоже на дифур в полных дифференциалах.
Ищу производные.
По $y$:
$\frac {\partial M} {dy}=\frac {1+xy} {x^2y}=\frac {1} {x^2y^2}$
По $x$ получаю:
$\frac {\partial P} {dx}=\frac {1-xy} {xy^2}=-\frac {1} {x^2y^2}$
Т.е. получилось, что уравнение не в полных дифференциалах? Или мой косяк с производными? Пытаюсь найти ошибку в знаках, но не получается никак.

[provincialka]

Косяк. В первом тоже минус.

[Hsad]

Ладненько, тогда дальнейшее решение. Будьте любезны, убедите меня в том, что у меня нет ошибок :)
$\[\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial W} {dx} = \frac {1+xy} {x^2y} \\ \frac {\partial W} {dy} = \frac {1-xy} {xy^2} \end{array} \right.\]$
$y=\operatorname{const}$
$W=\int \frac {1+xy} {x^2y}dx=\frac 1 y \int \frac {1+xy} {x^2}=\left\lvert xy+1=t, dt=ydx\right\rvert$=...=\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}+\varphi(y)'$
Дальше считаем производную по $y$
$\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}+\varphi(y)'=\frac {d\varphi} {dy}+ \frac {1} {xy^2}
$\frac {d\varphi} {dy}+ \frac {1} {xy^2}$=$\frac {1-xy} {xy^2} $
$\frac {d\varphi} {dy}=-\frac 1 y$
$\varphi=-\ln\left\lvert y \right\rvert$
$W=\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}-\ln\left\lvert y \right\rvert$

[provincialka]

Нормально. Хотя и нерационально: лучше разбивать выражение на две дроби:

$$W=\int \left(\dfrac1{x^2y}+\dfrac1x\right)dx$$

И вообще можно обойтись без интеграла:

$$dW = \left(\dfrac1{x^2y}+\dfrac1x\right)dx +\left(\dfrac1{xy^2}-\dfrac1y\right)dy = \dfrac{dx}{x}-\dfrac{dy}{y} +\dfrac1y\dfrac{dx}{x^2}+\dfrac1x\dfrac{dy}{y^2}$$

Два последних слагаемых "сворачиваются" по формуле дифференциала произведения.

[Hsad]

provincialka в сообщении #950058 писал(а):

Нормально. Хотя и нерационально: лучше разбивать выражение на две дроби:

$$W=\int \left(\dfrac1{x^2y}+\dfrac1x\right)dx$$

И вообще можно обойтись без интеграла:

$$dW = \left(\dfrac1{x^2y}+\dfrac1x\right)dx +\left(\dfrac1{xy^2}-\dfrac1y\right)dy = \dfrac{dx}{x}-\dfrac{dy}{y} +\dfrac1y\dfrac{dx}{x^2}+\dfrac1x\dfrac{dy}{y^2}$$

Два последних слагаемых "сворачиваются" по формуле дифференциала произведения.

Мой конечный ответ верен?
$W=\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}-\ln\left\lvert y \right\rvert$
Спасибо.

[provincialka]

provincialka в сообщении #950058 писал(а):

Нормально.

[Алексей К.]

Hsad в сообщении #950082 писал(а):

Мой конечный ответ верен?
$W=\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}-\ln\left\lvert y \right\rvert$

Я в математике не особо разбираюсь, потому прошу лишь пояснить: тождественно ли процитированное решение более привычной мне записи $\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}-\ln\left\lvert y \right\rvert=C\;?$

-- 21 дек 2014, 01:10:58 --

(Ну типа про С можно не писать, что это произвольная постоянная, а про W... надо написать?)

[Hsad]

Алексей К. в сообщении #950151 писал(а):

Hsad в сообщении #950082 писал(а):

Мой конечный ответ верен?
$W=\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}-\ln\left\lvert y \right\rvert$

Я в математике не особо разбираюсь, потому прошу лишь пояснить: тождественно ли процитированное решение более привычной мне записи $\ln\left\lvert x \right\rvert- \frac {1} {xy}-\ln\left\lvert y \right\rvert=C\;?$

-- 21 дек 2014, 01:10:58 --

(Ну типа про С можно не писать, что это произвольная постоянная, а про W... надо написать?)

Ну да, ваш ответ более корректный, но здесь в решении я не особо обратил внимание на этот нюанс :)

[provincialka]

Алексей К.
Я, честно говоря, думала, что это подразумевается... Как можно ошибиться!

[Алексей К.]

provincialka в сообщении #950188 писал(а):

Как можно ошибиться!

Охотно расскажу.

(Ошибиться можно так)

Я не преподаю студентам, и, стало быть не повторяю из года в год дифф. уравнения. И не сидят они у меня как в голове, как некоторые кривизны или таблица умножения.

Мне крайне редко случается решать дифф. уравнения. В голове надёжно сидит случай $F(y'',y',y)=0$ (кажется, из-за долгой возни со спиралью Штурма), и всё. Любое другое --- я лезу в справочник. И решаю, если решается. Кроме случая интегрирующего множителя, про который я когда-то не понял, как его пользовать, и который, как мне показалось, нельзя надёжно идентифицировать. И с тех пор не пытался. Не припекло. (Когда однажды ДУ припекло, оно оказалось Риккати, и я его решил! А с интегрирущим множителем --- ничо не понимаю. Не припекло.)

Когда я, с таким уровнем математического образования, просматриваю приведённое в теме решение, и вижу что-то вроде

Hsad в сообщении #950041 писал(а):

$$\[\left\{ \begin{array}{l} \frac {\partial W} {dx} = \frac {1+xy} {x^2y} \\ \frac {\partial W} {dy} = \frac {1-xy} {xy^2} \end{array} \right.\]$$

, я задумываюсь, что это за $W$, почему не $W(x,y)$, etc? Я (козёл такой) ленюсь полезть в справочник и сравнить написанное со справочником. Да и как я полезу, если заранее известно, что речь идёт о непостижимых интергирующих множителях?

В конце концов, не видя в ответе привычной произвольной постоянной, и видя в нём какую-то $W(?x,?y)$ , я пишу вопрошающий пост (хотя ответ одобрен одной из участниц, из тех, к кому я испытываю безграничное доверие, и нечто гораздо большее).

Потом (через много часов) мне приходит в голову, что в этом методе это самое $W$ служит каким-то имитатором константы ($C$), типа $W(x,y)=\operatorname{const}$. И что это очевидно всем, кто в теме, и что это буковки, людям известные и привычные. И в результате я жалею о написанном сообщении. Но поздно. Что за недержание?

Мне кажется, что эта писулька не ни к чему...

[provincialka]

Алексей К., да это я про себя! Как я ошиблась в своей вере в разумность. Я тоже диф.ур. всего один-два раза вела, как часть ужатой программы, в матане.

И честно говоря, мысль напомнить про константу у меня была. И я ее устыдилась, подумав, что уж ТС, который варится в теме, знает, что пишет.

(Оффтоп)

На добром слове -- спасибо. Значит, не зря писали: хотя бы создали у меня приятную иллюзию собственной значимости!

-- 21.12.2014, 23:17 --

Алексей К. в сообщении #950480 писал(а):

Кроме случая интегрирующего множителя, [...] который, как мне показалось, нельзя надёжно идентифицировать.

Совершенно верно! Можно найти в специально подогнанных случаях. Но здесь не надо: с самого начала уравнение было в полных дифференциалах. Так что это рутинное задание.

-- 21.12.2014, 23:19 --

Приношу извинение за нечетко написанный пост: краткость не всегда сестра таланта!

[Алексей К.]

Вау!

Т.е. я опять прав, что вмешался, ничо не понимая в этих множителях и ДУ вообще?
Можно что-то чем-то не посыпать?
Какой я всё-таки молодец, умищу не растерял, и спасибо Вам за констатацию.

(Оффтоп)

Ну да, с ученицей всего 2 месяца общаюсь, а грамоту по олимпиаде по геометрии в субботу получила.
И она старательная, и я, стало быть, умный.

[provincialka]

Алексей К., умный, умный! За ученицу рада. Посыпайте что-нибудь другое: еду зеленью. Пользительно для здоровья.