fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение19.12.2014, 22:54 


04/11/14
11
Здравствуйте.
Начал разбирать задачку про закон движения в потенциале Морза $U(x) = A(e^{-2 \alpha x} - 2e^{-\alpha x})$ (Г.Л. КОТКИН, В.Г.СЕРБО, СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ) и мои ответы не сходятся с тем, что там есть - прошу указать ошибки.

Итак, несовпадения начались сразу же в точках остановки, т.е. где $U(x_i) = E$ и $v_i = 0$, вот что у меня вышло: $$x_1 = -{\frac{1}{\alpha}}\ln{(1+\sqrt{1+\frac{E}{A}})},   E>0$$
$$x_2 = -{\frac{1}{\alpha}\ln{2}, E=0 $$
$$x_{3,4} = -{\frac{1}{\alpha}}\ln{(1\pm\sqrt{1-\frac{|E|}{A}})},   E<0$$
Немного ободряет, что в моём варианте $x_1 -> x_2 <- x_3$ при $E -> 0$, в книжке - не так.
Далее, рискнул найти закон движения в случае $E=0$, он так же не сошёлся, коротенько ход вычисления: (я поставил всё на зеро и заменил предел интегрирования в формуле (3): верхний - вместо бесконечности - $x$, потому, что иначе закон движения просто не найти - интеграл-то определённый...)

(Оффтоп)


$$t = \sqrt{\frac{m}{2A}}\int\frac{dx}{\sqrt{2e^{-\alpha x} - e^{-2\alpha x}}} = |e^{-\alpha x}=y| =-\frac{1}{\alpha}\sqrt{\frac{m}{2A}}\int\frac{dy}{y \sqrt{2y -y^2}} = |\sqrt{2-y} = z| =$ \sqrt{\frac{m}{2A}}\frac{1}{\alpha}\int\frac{dz}{z(2-z^2)} = \frac{1}{2\alpha}\ln{\frac{z}{\sqrt{|2-z^2|}}} $$
Далее, возвращаясь к исходным переменным, разрешаем уравнение относительно $x$, отбрасывая по дороге порочный корень с минусом, получаем: $$x(t) = \frac{1}{\alpha}\ln(0,25 + 0,25\sqrt{1+8\beta e^{4\alpha t\sqrt{\frac{m}{2A}}}}), \beta = e^{\alpha x(0)}(2e^{\alpha x(0)} - 1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 13:08 


04/11/14
11
С положительной и отрицательной энергией, на удивление, всё намного лучше.
1) $E>0$: замена $e^{-\alpha x} = y $ $\to$замена $\frac{1}{y}=p$$\to$выделяем полный квадрат под корнем в знаменетеле$\to$длинный логарифм$\to$предстваление в виде ареакошинуса$\to$ $x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln{\frac{|(A+Ee^{\alpha x(0)})\ch(\alpha t\sqrt{\frac{2E}{m}}) - A|}{E}}$.
2) $E<0$: ...$\to$ $x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln{|\frac{A}{|E|} ((1+\frac{A}{|E|})cos(\alpha t \sqrt{\frac{2|E|}{m}} +\phi_0) - 1)|}$, где $\phi_0 = const(x(0))$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 15:30 


04/11/14
11
Упс, в предпоследней формуле первого поста в показателе экспоненты выражение под корнем нужно перевернуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 16:07 
Заслуженный участник


03/01/09
1717
москва
Из вашей формулы для $x(t)$ при $E=0$ следует, что при больших $t$ координата $x(t)\approx at$(где $a$- постоянная), то есть скорость движения не стремится к 0, что явно не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 17:06 


04/11/14
11
mihiv в сообщении #949909 писал(а):
Из вашей формулы для $x(t)$ при $E=0$ следует, что при больших $t$ координата $x(t)\approx at$(где $a$- постоянная), то есть скорость движения не стремится к 0, что явно не так.


Этот момент не ясен: движение же инфинитное - частица уходит на бесконечность, значит и на бесконечности может иметь $v \not=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 17:23 
Заслуженный участник


03/01/09
1717
москва
$E=T+U(x)=0$. При $x\to \infty ,U(x)\to 0$, поэтому $T\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 17:38 


04/11/14
11
mihiv в сообщении #949941 писал(а):
$E=T+U(x)=0$. При $x\to \infty ,U(x)\to 0$, поэтому $T\to 0$.


И верно, нужно пересчитывать... а вы случайно не заметили чего-нибудь противозаконного в цепочке, которая привела к не верному ответу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле
Сообщение20.12.2014, 18:41 


04/11/14
11
Всё, получил правильную формулу при $E = 0$, теперь только точки остановки напрягают...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: wrest


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group