Ан. мех. - одномерное дв. в потенциальном поле

[Studens]

Здравствуйте.
Начал разбирать задачку про закон движения в потенциале Морза $U(x) = A(e^{-2 \alpha x} - 2e^{-\alpha x})$ (Г.Л. КОТКИН, В.Г.СЕРБО, СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ) и мои ответы не сходятся с тем, что там есть - прошу указать ошибки.

Итак, несовпадения начались сразу же в точках остановки, т.е. где $U(x_i) = E$ и $v_i = 0$, вот что у меня вышло:

$$x_1 = -{\frac{1}{\alpha}}\ln{(1+\sqrt{1+\frac{E}{A}})}, E>0$$

$$x_2 = -{\frac{1}{\alpha}\ln{2}, E=0 $$

$$x_{3,4} = -{\frac{1}{\alpha}}\ln{(1\pm\sqrt{1-\frac{|E|}{A}})}, E<0$$

Немного ободряет, что в моём варианте $x_1 -> x_2 <- x_3$ при $E -> 0$, в книжке - не так.
Далее, рискнул найти закон движения в случае $E=0$, он так же не сошёлся, коротенько ход вычисления: (я поставил всё на зеро и заменил предел интегрирования в формуле (3): верхний - вместо бесконечности - $x$, потому, что иначе закон движения просто не найти - интеграл-то определённый...)

(Оффтоп)

пределы интегрирования буду опускать - не могу найти как их ставить

$$t = \sqrt{\frac{m}{2A}}\int\frac{dx}{\sqrt{2e^{-\alpha x} - e^{-2\alpha x}}} = |e^{-\alpha x}=y| =-\frac{1}{\alpha}\sqrt{\frac{m}{2A}}\int\frac{dy}{y \sqrt{2y -y^2}} = |\sqrt{2-y} = z| =$ \sqrt{\frac{m}{2A}}\frac{1}{\alpha}\int\frac{dz}{z(2-z^2)} = \frac{1}{2\alpha}\ln{\frac{z}{\sqrt{|2-z^2|}}} $$

Далее, возвращаясь к исходным переменным, разрешаем уравнение относительно $x$, отбрасывая по дороге порочный корень с минусом, получаем:

$$x(t) = \frac{1}{\alpha}\ln(0,25 + 0,25\sqrt{1+8\beta e^{4\alpha t\sqrt{\frac{m}{2A}}}}), \beta = e^{\alpha x(0)}(2e^{\alpha x(0)} - 1)$$

[Studens]

С положительной и отрицательной энергией, на удивление, всё намного лучше.
1) $E>0$: замена $e^{-\alpha x} = y $ $\to$замена $\frac{1}{y}=p$$\to$выделяем полный квадрат под корнем в знаменетеле$\to$длинный логарифм$\to$предстваление в виде ареакошинуса$\to$ $x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln{\frac{|(A+Ee^{\alpha x(0)})\ch(\alpha t\sqrt{\frac{2E}{m}}) - A|}{E}}$.
2) $E<0$: ...$\to$ $x(t)=\frac{1}{\alpha} \ln{|\frac{A}{|E|} ((1+\frac{A}{|E|})cos(\alpha t \sqrt{\frac{2|E|}{m}} +\phi_0) - 1)|}$, где $\phi_0 = const(x(0))$

[Studens]

Упс, в предпоследней формуле первого поста в показателе экспоненты выражение под корнем нужно перевернуть.

[mihiv]

Из вашей формулы для $x(t)$ при $E=0$ следует, что при больших $t$ координата $x(t)\approx at$(где $a$- постоянная), то есть скорость движения не стремится к 0, что явно не так.

[Studens]

mihiv в сообщении #949909 писал(а):

Из вашей формулы для $x(t)$ при $E=0$ следует, что при больших $t$ координата $x(t)\approx at$(где $a$- постоянная), то есть скорость движения не стремится к 0, что явно не так.

Этот момент не ясен: движение же инфинитное - частица уходит на бесконечность, значит и на бесконечности может иметь $v \not=0$

[mihiv]

$E=T+U(x)=0$. При $x\to \infty ,U(x)\to 0$, поэтому $T\to 0$.

[Studens]

mihiv в сообщении #949941 писал(а):

$E=T+U(x)=0$. При $x\to \infty ,U(x)\to 0$, поэтому $T\to 0$.

И верно, нужно пересчитывать... а вы случайно не заметили чего-нибудь противозаконного в цепочке, которая привела к не верному ответу?

[Studens]

Всё, получил правильную формулу при $E = 0$, теперь только точки остановки напрягают...