можно ли смоделировать ОТО на компьютере?

[Утундрий]

Кстати, если компьютер будет изогнутым, вычисления должны стать проще.

[levtsn]

,,оно же не гнется, оно только ломается,,

[SergeyGubanov]

levtsn в сообщении #945956 писал(а):

можно ли смоделировать ОТО на компьютере?

Вы про численный счёт? В общем случае это не реально. Система дифференциальных уравнений в частных производных может иметь решения определяемые с точностью до произвольных функций. То есть в общем случае решение определяется не несколькими произвольными константами интегрирования, а несколькими произвольными функциями. Для численного счёта это, мягко говоря, не удобно. Какие-то частные решения просчитывать численно можно, а так чтоб взять и "как есть" засунуть в компьютер уравнения ОТО и получить "общий" ответ -- нет, нельзя.

levtsn в сообщении #945956 писал(а):

если да, то ведь в модели будет присутствовать глобальное время, и одновременность событий будет вовсе не относительная.

Это ни откуда не следует.

[Ilja]

SergeyGubanov в сообщении #948936 писал(а):

Вы про численный счёт? В общем случае это не реально. Система дифференциальных уравнений в частных производных может иметь решения определяемые с точностью до произвольных функций. То есть в общем случае решение определяется не несколькими произвольными константами интегрирования, а несколькими произвольными функциями. Для численного счёта это, мягко говоря, не удобно. Какие-то частные решения просчитывать численно можно, а так чтоб взять и "как есть" засунуть в компьютер уравнения ОТО и получить "общий" ответ -- нет, нельзя.

А такой "общий" ответ и никому не нужен. Можно прекрасно обоитись одним решением.

И чтобы комп не задумался о том какое из решении, ему и приписывают какое-то координатное условие. Например гармоническое, которое к тому еще упрощает сами уравнения.

[SergeyGubanov]

Ilja в сообщении #949362 писал(а):

И чтобы комп не задумался о том какое из решении, ему и приписывают какое-то координатное условие. Например гармоническое, которое к тому еще упрощает сами уравнения.

Ну взять хотя бы его для примера, боюсь возникнут проблемы с устойчивостью численного решения системы уравнений $\partial_\mu (g^{\mu\nu}\sqrt{-g}) = 0.$

Гораздо приятнее использовать какой-нибудь частный анзац, с небольшим количеством уравнений не имеющих проблем с устойчивостью численной схемы решения.

[Ilja]

Первые теоремы существования и единственности решения для ОТО были получены именно в гармонических координатах, так что я бы ожидал больше проблем с другими координатными условиями.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #948936 писал(а):

Вы про численный счёт? В общем случае это не реально. Система дифференциальных уравнений в частных производных может иметь решения определяемые с точностью до произвольных функций.

Правильно ли я понимаю, что универсального алгоритма численного решений системы уравнений в частных производных не существует. Зависит это и от типа системы? Например для строго гиперболического типа они вроде разработаны? Сталкивались ли с данной проблемой?
Почему вдруг гармонические условия дают неустойчивый характер системы?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #949487 писал(а):

Почему вдруг гармонические условия дают неустойчивый характер системы?

Речь об устойчивости численной (разностной) схемы. Возьмём, например, двумерный случай: $\sqrt{g} g^{00} = A$, $\sqrt{g} g^{01} = B$, $\sqrt{g} g^{11} = C$:

$$\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial B}{\partial x} = 0 \eqno(1.1)$$

$$\frac{\partial B}{\partial t} + \frac{\partial C}{\partial x} = 0 \eqno(1.2)$$

Численно решать такие уравнения "не удобно": разностная схема которую тут можно придумать будет условно устойчива, а ошибка будет накапливаться быстро -- первый порядок же.

[Ilja]

Вообще-то универсальные алгоритмы для эволюционных систем уравнении существуют. Но у них есть проблема очень простая: чтобы они поработали, нужны уж очень маленкие степени времени.

Скажем, $\partial_t u = \partial_x^2 u$. Там очень просто и универсально можно написать

$\frac{u(\tau+1,\xi)-u(\tau,\xi)}{\Delta t}=\frac{u(\tau,\xi+1)-2u(\tau,\xi)+u(\tau,\xi-1)}{(\Delta x)^2}$

и все это решается просто, все $u(\tau+1,\xi)$ вычисляются просто если все начальные данные $u(\tau,\xi)$ даны. Но есть проблема - маленькие колебания начальных данных могут вести к большим осциллациям. В принципе надо просто взять $\Delta t$ достаточно маленьким. Но в практике слишком маленький $\Delta t$ значит слишком много шагов, и поэтому нужно применить другие методы, которые менее универсальные, но при которых даже при $\Delta t$ побольше не появятся никаких неустойчивостей.

[Утундрий]

Да всё вообще "в принципе просто". Пока не попробуешь это "просто" реализовать.