Еще хитрая задача на параметр.

[Andrei94]

То есть у нас $t_{1,2}=\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}$

Подставляя в первое уравнение (учитывая $t=\frac{x}{y}$), имеем:

$$y^2\left(2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2-2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)+10\right)=a$$

Прямо вот так подставлять?

Используя второе уравнение:

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Значит $y^2=\dfrac{4}{t^2+2t-3}=\dfrac{4}{\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2+2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)-3}$

Тогда подставляя в первое уравнение, получаем:

$$\dfrac{4}{\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2+2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)-3}\cdot $$

$$\cdot \left(2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)^2-2\left(\dfrac{-a-4\pm \sqrt{4a^2-24a-304}}{a-8}\right)+10\right)=a$$

Верно?

[Brukvalub]

Нет, вы стали переусложнять.

[Andrei94]

$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2+(3a+40)(a-8)=a^2+8a+16+(3a+40)(a-8)=$

$=a^2+8a+16+3a^2+40a-24a-320=4a^2+24a-304=$

$=4(a+3+\sqrt{85})(a-\sqrt{85}+3)$

При $a\in(-\infty; -3-\sqrt{85})\cup(\sqrt{85}-3;+\infty)$ будет два корня.

Поправил, чтобы было верно.

-- 13.12.2014, 13:02 --

Brukvalub в сообщении #945440 писал(а):

Нет, вы стали переусложнять.

Ну а пока не очевидно -- в какую сторону думать, чтобы упростить.

[Brukvalub]

Нужно, не выражая явно корня однородного уравнения, просто предположить его существование, обозначит этот корень одной буквой, затем выразить с помощью обозначенного корня одно исходное неизвестное через другое, подставить это выражение в удобное исходное уравнение, смоделировать его решение, откуда получатся ограничения на корень однородного уравнения (если такие ограничения есть).

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945447 писал(а):

Нужно, не выражая явно корня однородного уравнения, просто предположить его существование, обозначит этот корень одной буквой, затем выразить с помощью обозначенного корня одно исходное неизвестное через другое, подставить это выражение в удобное исходное уравнение, смоделировать его решение, откуда получатся ограничения на корень однородного уравнения (если такие ограничения есть).

То есть вот так?

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

Так?

[Brukvalub]

Да, так, но выгоднее подставлять во 2-е уравнение.

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945454 писал(а):

Да, так, но выгоднее подставлять во 2-е уравнение.

Пока что не прочувствовал выгоду)

$2x^2-2xy+10y^2=y^2(2t^2-2t+10)=a$

Пока что не видно, какие ограничения на $t$, только ввиду того, что $2t^2-2t+10>0$ при любых действительных $t$, получаем, что $a\ge 0$

[Brukvalub]

Верно, осталось обеспечить наличие корня у однородного уравнения, других ограничений НЕТ!

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #945465 писал(а):

Верно, осталось обеспечить наличие корня у однородного уравнения, других ограничений НЕТ!

А почему нет, что-то не очень понимаю, ведь из другого уравнения какие-то ограничения вылезают?
А как дальше решать неравенства -- понятно уже, получилось, что $b\in (-\infty;-1]\cup [4;+\infty)$, но почему уже достаточно ограничений, пока что не ясно.

[Andrei94]

Меня смущают эти ограничения

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

[Brukvalub]

Andrei94 в сообщении #946739 писал(а):

Меня смущают эти ограничения

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

Исходная система равносильна каждой из 2-х систем, полученных присоединением к однородному уравнению-следствию одного из исходных уравнений.
Если мы присоединяем 2-е из исходных уравнений, то новых ограничений на параметр не получаем, а если присоединить первое, то появляются дополнительные ограничения. Это означает, что, если присоединить именно первое уравнение, то, хорошенько помучившись, мы придем к тому же ответу, который мы легко и непринужденно получаем, если присоединить второе уравнение.
Проверьте это!

[Andrei94]

Brukvalub в сообщении #946861 писал(а):

Andrei94 в сообщении #946739 писал(а):

Меня смущают эти ограничения

$x^2+2xy-3y^2=4$

Получаем $y^2(t^2+2t-3)=4$

Получаем ограничение на $t^2+2t-3$, а именно $t^2+2t-3>0$, то есть $t\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$

Исходная система равносильна каждой из 2-х систем, полученных присоединением к однородному уравнению-следствию одного из исходных уравнений.
Если мы присоединяем 2-е из исходных уравнений, то новых ограничений на параметр не получаем, а если присоединить первое, то появляются дополнительные ограничения. Это означает, что, если присоединить именно первое уравнение, то, хорошенько помучившись, мы придем к тому же ответу, который мы легко и непринужденно получаем, если присоединить второе уравнение.
Проверьте это!

Спасибо, понятно