Еще хитрая задача на параметр.

[Andrei94]

Найти все значения $b$, такие, что система имеет хотя бы одно решение:

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-2xy+10y^2=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85}\\ x^2+2xy-3y^2=4 \end{matrix}\right.$

Думаю так: Обозначим $a=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85}$

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-2xy+10y^2=a\\ x^2+2xy-3y^2=4 \end{matrix}\right.$

Из второго уравнения: $2xy=4+3y^2-x^2$ подставляем в первое:

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-(4+3y^2-x^2)+10y^2=a\\ x^2+2xy-3y^2=4 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 3x^2+7y^2=a+4\\ x^2+2xy-3y^2=4 \end{matrix}\right.$

Первое уравнение -- эллипс при $a>-4$, а второе -- пока что не знаю. Насчет второго только была идея разложить на множители:

$(x-3y)(x+5y)=4$. Но это вряд ли поможет делу.

[ИСН]

Это гипербола, но какая разница. Да хоть шмябола. Ищите пересечения. Вы их не найдёте, потому что там это самое.

[gris]

А почему пересечения не найти?
Первая фигура — эллипс, который можно раздувать из начала координат (у правой части есть корни, вроде бы). Гипербола стоит на месте в удалении от начала координат. При больших по модулю $b$ будут пересечения. Надо смотреть серединку этой правой части. Ну и находить первое касание.

[ИСН]

Не найти потому, что там не сводится к квадратному уравнению. А не потому что их нет; why, они есть.
Слово "касание" я хотел продать попозже и подороже.

[gris]

Ой.

[Andrei94]

ИСН в сообщении #942384 писал(а):

Это гипербола, но какая разница. Да хоть шмябола. Ищите пересечения. Вы их не найдёте, потому что там это самое.

А как лучше хдесь искать пересечения -- аналитически или графически?

[ИСН]

Что толку, если Вы их найдёте графически?

[gris]

Графически можно представить себе, что происходит, и подумать о методе решения. В общем, тут три графика. Мне кажется, что такую усложнённую правую часть первого уравнения дали не просто так, а чтобы появились решения в её серединке. Хотя может быть и нет. Если бы я составлял такую задачу, то не удержался бы

[Andrei94]

А как тут аналитически решить, если можно выразить $y$ через $x$ из второго уравнения, решая квадратное уравнение относительно $y$, там ведь немного криво потом будет всё это безобразие подставлять в первое уравнение!

[ИСН]

Я же сразу сказал:

ИСН в сообщении #942384 писал(а):

Вы их не найдёте, потому что там это самое.

-- менее минуты назад --

Вот это оно и есть

[Brukvalub]

Слева в системе однородные многочлены. Поэтому умножением уравнений на константы и сложением результатов легко получить однородное уравнение. Вот с этого и начните. Затем нужно предположить, что полученное однородное уравнение имеет корень и подстановкой его в одно из исходных уравнений получить ограничения на этот корень.

[Andrei94]

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-2xy+10y^2=a\\ x^2+2xy-3y^2=4 \end{matrix}\right.$

При $a\ne 0$

$\left\{\begin{matrix} 8x^2-8xy+40y^2=4a\\ ax^2+2axy-3ay^2=4a \end{matrix}\right.$

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

$(a-8)x^2+2(a+4)xy-(3a+40)y^2=0$


Если $y=0$, получим, что $a=8$ и $x=\pm 2$.

При $a=8$ получаем, что $24xy-68y^2=0$ или $4y(6x-17y)=0$, или $y=0$ или же $6x=17y$.

При $a\ne 8$ и $y\ne 0$ делаем замену $t=\frac{x}{y}$

$(a-8)t^2+2(a+4)t-3a-40=0$

$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2+2(3a+40)(a-8)=a^2+8a+16+(6a+80)(a-8)=$

$=a^2+8a+16+6a^2+80a-48a-640=7a^2+40a-624$

Жуткий дискриминант. который обращается в ноль при неприятных значениях $a$ (там возникает $\sqrt{298}$)

Верно ли это?

[12d3]

В подсчете дискриминанта ошибка. Двойка лишняя.

-- Вт дек 09, 2014 17:49:30 --

А если исправите, вылезет где-то уже виденное $\sqrt{85}$

[Andrei94]

Спасибо!

$\dfrac{D}{4}=(a+4)^2+(3a+40)(a-8)=a^2+8a+16+(3a+40)(a-8)=$

$=a^2+8a+16+3a^2+40a-24a-320=4a^2+24a-304=$

$=(a+3+\sqrt{85})(a-\sqrt{85}+3)$

При $a\in(-\infty; -3-\sqrt{85})\cup(3-\sqrt{85};+\infty)$ будет два корня.

А как дальше? Что можно придумать?

[12d3]

Andrei94 в сообщении #943168 писал(а):

При $a\in(-\infty; -3-\sqrt{85})\cup(3-\sqrt{85};+\infty)$ будет два корня.

Знаком ошиблись немного.
А дальше переходите от $t$ к исходным переменным и подставляете найденное значение $t$ в одно из исходных уравнений, в любое на выбор. Ищете, при каких значениях $a$ это получившееся уравнение будет иметь решение.