Задача на предкомпактность

[fatra]

Формулировка задачи:
Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на $[a,b]$ функций $x(t)$ таких, что

$$\int\limits_{a}^{b} (x(t)^2+x'(t)^2) dt < K$$

с постоянной $ K > 0 $ компактно в пространстве $С[a,b]$.

Естественно нужно использовать теорему Арцела.
Можно воспользоватся представлением

$$x(t)=x(a)+\int\limits_{a}^{t} x'(u) du $$

С помощью этой формулы легко доказывается равностепенная непрерывность.
Не могу доказать равномерную ограниченность, хотя, как правило, это сделать проще.
Я пробовал воспользоватся тем представлением: интеграл оценивается легко. Остается равномерно оценить $|x(a)|$. Но не могу придумать, как это оценить через интеграл(ы).

-- Сб дек 13, 2014 12:53:54 --

Под компактностью здесь имеется ввиду предкомпактность.

[fatra]

Сделал ошибку в LaTex, там компактность в пространстве C[a,b]

[cool.phenon]

Пространство $[a,b]$ -- это какие функции? Если я правильно помню, это непрерывные функции, $|x(a)|$ надо оценить максимумом, интеграл им же, только для производной.

[Oleg Zubelevich]

fatra в сообщении #945477 писал(а):

$$x(t)=x(a)+\int\limits_{a}^{t} x'(u) du $$

проинтегрируйте это равенство

[fatra]

Можно оценить максимумом, но этот максимум должен быть ограничен сверху числом, общим для всех функций множества. По идее, должна получаться какая-то функция от К.

-- Сб дек 13, 2014 19:22:05 --

Oleg Zubelevich в сообщении #945675 писал(а):

проинтегрируйте это равенство

Спасибо за правильную идею, я так и думал, что должно быть что-то простое.
У меня получилось

$$x(a)=\frac 1 {b-a} \int\limits_a^b x(t) dt - \frac 1 {b-a} \int\limits_a^b \int\limits_a^t x'(\tau)d\tau dt$$

Дальше все просто.