2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача на предкомпактность
Сообщение13.12.2014, 13:49 
Формулировка задачи:
Доказать, что множество непрерывно дифференцируемых на $[a,b]$ функций $x(t)$ таких, что
$$\int\limits_{a}^{b} (x(t)^2+x'(t)^2) dt  < K$$
с постоянной $ K > 0 $ компактно в пространстве $С[a,b]$.

Естественно нужно использовать теорему Арцела.
Можно воспользоватся представлением
$$x(t)=x(a)+\int\limits_{a}^{t} x'(u) du $$
С помощью этой формулы легко доказывается равностепенная непрерывность.
Не могу доказать равномерную ограниченность, хотя, как правило, это сделать проще.
Я пробовал воспользоватся тем представлением: интеграл оценивается легко. Остается равномерно оценить $|x(a)|$. Но не могу придумать, как это оценить через интеграл(ы).

-- Сб дек 13, 2014 12:53:54 --

Под компактностью здесь имеется ввиду предкомпактность.

 
 
 
 Re: Задача на предкомпактность
Сообщение13.12.2014, 19:34 
Сделал ошибку в LaTex, там компактность в пространстве C[a,b]

 
 
 
 Re: Задача на предкомпактность
Сообщение13.12.2014, 20:02 
Аватара пользователя
Пространство $[a,b]$ -- это какие функции? Если я правильно помню, это непрерывные функции, $|x(a)|$ надо оценить максимумом, интеграл им же, только для производной.

 
 
 
 Re: Задача на предкомпактность
Сообщение13.12.2014, 20:05 
fatra в сообщении #945477 писал(а):
$$x(t)=x(a)+\int\limits_{a}^{t} x'(u) du $$

проинтегрируйте это равенство

 
 
 
 Re: Задача на предкомпактность
Сообщение13.12.2014, 20:08 
Можно оценить максимумом, но этот максимум должен быть ограничен сверху числом, общим для всех функций множества. По идее, должна получаться какая-то функция от К.

-- Сб дек 13, 2014 19:22:05 --

Oleg Zubelevich в сообщении #945675 писал(а):
проинтегрируйте это равенство

Спасибо за правильную идею, я так и думал, что должно быть что-то простое.
У меня получилось
$$x(a)=\frac 1 {b-a} \int\limits_a^b x(t) dt - \frac 1 {b-a} \int\limits_a^b \int\limits_a^t x'(\tau)d\tau  dt$$
Дальше все просто.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group