Решить систему уравнений в Z/nZ

[ZumbiAzul]

Уважаемые форумчане!

Помогите мне, пожалуйста, разобраться в следующей задаче.

Задача. Решить систему уравнений в кольце $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ при $n=56$:

$$\begin{cases} \overline{15}x+\overline{21}y=\overline{1},\\ \overline{3}x+\overline{5}y=\overline{13} \end{cases}.$$

[Brukvalub]

Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.

[ZumbiAzul]

Brukvalub в сообщении #945424 писал(а):

Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.

Это как?

Дело в том, что я, возможно, не понимаю до конца, что означает запись вида $\overline{15}$... Вот мое понимание - это множество чисел, дающих в остатке 15 при делении их на 56, правильно?

[Brukvalub]

ZumbiAzul в сообщении #945431 писал(а):

...
Дело в том, что я, возможно, не понимаю до конца, что означает запись вида $\overline{15}$... Вот мое понимание - это множество чисел, дающих в остатке 15 при делении их на 56, правильно?

Это верное понимание.

[ZumbiAzul]

Brukvalub в сообщении #945434 писал(а):

Это верное понимание.

Тогда если поделить первое уравнение на 3, то получится

$$\overline{0}x+\overline{0}y=\overline{1},$$

правильно?

-- Сб дек 13, 2014 13:16:01 --

Также, правильно ли я понимаю, что, исходную систему можно записать следующим эквивалентным способом:

$$\begin{cases} 15x+21y\equiv1\pmod{56},\\ 3x+5y\equiv13\pmod{56}? \end{cases}$$

[Null]

ZumbiAzul в сообщении #945441 писал(а):

Тогда если поделить первое уравнение на 3, то получится

$$\overline{0}x+\overline{0}y=\overline{1},$$

правильно?

нет

ZumbiAzul в сообщении #945441 писал(а):

Также, правильно ли я понимаю, что, исходную систему можно записать следующим эквивалентным способом:

$$\begin{cases} 15x+21y\equiv1\pmod{56},\\ 3x+5y\equiv13\pmod{56}? \end{cases}$$

да

[VAL]

Brukvalub в сообщении #945424 писал(а):

Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.

А какие выводы предлагается сделать ТС?
(В $\mathbb Z_{56}$ тройка - обратимый элемент.)

[ZumbiAzul]

Null в сообщении #945453 писал(а):

нет

15 и 21 делятся на 3, но 1 не делится на 3, что делать?

VAL в сообщении #945469 писал(а):

(В $\mathbb Z_{56}$ тройка - обратимый элемент.)

Что это означает на практике?

[bot]

Ну, значит делить на 3 можно, в частности и 1 на 3 делится.

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #945479 писал(а):

15 и 21 делятся на 3, но 1 не делится на 3, что делать?

VAL в сообщении #945469 писал(а):

(В $\mathbb Z_{56}$ тройка - обратимый элемент.)

Что это означает на практике?

Это означает, что предыдущее замечание, в данном случае, ничего не означает.

[ZumbiAzul]

bot в сообщении #945482 писал(а):

в частности и 1 на 3 делится.

никак не могу сообразить, каким целым числам удовлетворяет результат деления $\overline{1} : 3$?

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #945415 писал(а):

Задача. Решить систему уравнений в кольце $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ при $n=56$:

$$\begin{cases} \overline{15}x+\overline{21}y=\overline{1},\\ \overline{3}x+\overline{5}y=\overline{13} \end{cases}.$$

СЛУ в любом кольце решаются более-менее одинаково методами Гаусса, Крамера, методом обратной матрицы. Только про делители нуля не забывайте.

-- Сб дек 13, 2014 11:16:20 --

ZumbiAzul в сообщении #945490 писал(а):

каким целым числам удовлетворяет результат деления $\overline{1} : 3$?

Деление класса вычетов на натуральное число не определено.

Brukvalub в сообщении #945424 писал(а):

Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.

Этот текст, к сожалению, ничего не означает.

[VAL]

ZumbiAzul в сообщении #945490 писал(а):

bot в сообщении #945482 писал(а):

в частности и 1 на 3 делится.

никак не могу сообразить, каким целым числам удовлетворяет результат деления $\overline{1} : 3$?

Поделить на класс тройки, это все равно, что умножить на класс, обратный к классу тройки.

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945492 писал(а):

СЛУ в любом кольце решаются более-менее одинаково методами Гаусса, Крамера, методом обратной матрицы. Только про делители нуля не забывайте.

Вот, что получается:

$\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{3} & \overline{5} & \overline{13} \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{4} & \overline{12} \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{3} \end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{0} & \overline{-62} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{3} \end{pmatrix}$

Т.о., получается, что

$$15x\equiv-62\pmod{56}, y\equiv3\pmod{56}$$

Или

$$x\equiv22\pmod{56}, y\equiv3\pmod{56}$$

Правильно?

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #945503 писал(а):

$$\begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{4} & \overline{12} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} & \overline{3} \end{pmatrix}$$

Переход неверен.