2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 12:20 
Уважаемые форумчане!

Помогите мне, пожалуйста, разобраться в следующей задаче.

Задача. Решить систему уравнений в кольце $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ при $n=56$: $$\begin{cases}
\overline{15}x+\overline{21}y=\overline{1},\\
\overline{3}x+\overline{5}y=\overline{13}
\end{cases}.$$

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 12:43 
Аватара пользователя
Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 12:48 
Brukvalub в сообщении #945424 писал(а):
Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.

Это как?

Дело в том, что я, возможно, не понимаю до конца, что означает запись вида $\overline{15}$... Вот мое понимание - это множество чисел, дающих в остатке 15 при делении их на 56, правильно?

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 12:53 
Аватара пользователя
ZumbiAzul в сообщении #945431 писал(а):
...
Дело в том, что я, возможно, не понимаю до конца, что означает запись вида $\overline{15}$... Вот мое понимание - это множество чисел, дающих в остатке 15 при делении их на 56, правильно?
Это верное понимание.

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 12:59 
Brukvalub в сообщении #945434 писал(а):
Это верное понимание.

Тогда если поделить первое уравнение на 3, то получится $$\overline{0}x+\overline{0}y=\overline{1},$$ правильно?

-- Сб дек 13, 2014 13:16:01 --

Также, правильно ли я понимаю, что, исходную систему можно записать следующим эквивалентным способом:
$$\begin{cases}
15x+21y\equiv1\pmod{56},\\
3x+5y\equiv13\pmod{56}?
\end{cases}$$

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:19 
ZumbiAzul в сообщении #945441 писал(а):
Тогда если поделить первое уравнение на 3, то получится $$\overline{0}x+\overline{0}y=\overline{1},$$ правильно?


нет

ZumbiAzul в сообщении #945441 писал(а):
Также, правильно ли я понимаю, что, исходную систему можно записать следующим эквивалентным способом:
$$\begin{cases}
15x+21y\equiv1\pmod{56},\\
3x+5y\equiv13\pmod{56}?
\end{cases}$$


да

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:41 
Brukvalub в сообщении #945424 писал(а):
Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.
А какие выводы предлагается сделать ТС?
$\mathbb Z_{56}$ тройка - обратимый элемент.)

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:50 
Null в сообщении #945453 писал(а):
нет

15 и 21 делятся на 3, но 1 не делится на 3, что делать?
VAL в сообщении #945469 писал(а):
$\mathbb Z_{56}$ тройка - обратимый элемент.)

Что это означает на практике?

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:55 
Аватара пользователя
Ну, значит делить на 3 можно, в частности и 1 на 3 делится.

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 13:58 
ZumbiAzul в сообщении #945479 писал(а):
15 и 21 делятся на 3, но 1 не делится на 3, что делать?
VAL в сообщении #945469 писал(а):
$\mathbb Z_{56}$ тройка - обратимый элемент.)

Что это означает на практике?
Это означает, что предыдущее замечание, в данном случае, ничего не означает.

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:13 
bot в сообщении #945482 писал(а):
в частности и 1 на 3 делится.

никак не могу сообразить, каким целым числам удовлетворяет результат деления $\overline{1} : 3$?

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:15 
ZumbiAzul в сообщении #945415 писал(а):
Задача. Решить систему уравнений в кольце $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ при $n=56$: $$\begin{cases}
\overline{15}x+\overline{21}y=\overline{1},\\
\overline{3}x+\overline{5}y=\overline{13}
\end{cases}.$$
СЛУ в любом кольце решаются более-менее одинаково методами Гаусса, Крамера, методом обратной матрицы. Только про делители нуля не забывайте.

-- Сб дек 13, 2014 11:16:20 --

ZumbiAzul в сообщении #945490 писал(а):
каким целым числам удовлетворяет результат деления $\overline{1} : 3$?
Деление класса вычетов на натуральное число не определено.

Brukvalub в сообщении #945424 писал(а):
Сравните результат от деления на $3$ левой и правой частей первого уравнения и сделайте вывод.
Этот текст, к сожалению, ничего не означает.

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:19 
ZumbiAzul в сообщении #945490 писал(а):
bot в сообщении #945482 писал(а):
в частности и 1 на 3 делится.

никак не могу сообразить, каким целым числам удовлетворяет результат деления $\overline{1} : 3$?
Поделить на класс тройки, это все равно, что умножить на класс, обратный к классу тройки.

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:37 
Sonic86 в сообщении #945492 писал(а):
СЛУ в любом кольце решаются более-менее одинаково методами Гаусса, Крамера, методом обратной матрицы. Только про делители нуля не забывайте.

Вот, что получается:

$\begin{pmatrix}
\overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\
\overline{3} & \overline{5} & \overline{13} 
\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}
\overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\
\overline{0} & \overline{4} & \overline{12} 
\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}
\overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\
\overline{0} & \overline{1} & \overline{3} 
\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}
\overline{15} &\overline{0} & \overline{-62} \\
\overline{0} & \overline{1} & \overline{3} 
\end{pmatrix}$

Т.о., получается, что $$15x\equiv-62\pmod{56}, y\equiv3\pmod{56}$$
Или $$x\equiv22\pmod{56}, y\equiv3\pmod{56}$$
Правильно?

 
 
 
 Re: Решить систему уравнений в Z/nZ
Сообщение13.12.2014, 14:39 
ZumbiAzul в сообщении #945503 писал(а):
$$\begin{pmatrix}
\overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\
\overline{0} & \overline{4} & \overline{12} 
\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}
\overline{15} &\overline{21} & \overline{1} \\
\overline{0} & \overline{1} & \overline{3} 
\end{pmatrix}$$
Переход неверен.

 
 
 [ Сообщений: 57 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group