Решение уравнения в Z/nZ

[ZumbiAzul]

Уважаемые форумчане!

Помогите мне, пожалуйста, разобраться в следующей задаче.

Задача. Решить уравнение в кольце $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ при $n=221$:

$$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}.$$

[bot]

$221=13\times 17$

[Brukvalub]

Сведите уравнение к виду:

$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}.$$

[ZumbiAzul]

bot в сообщении #945459 писал(а):

$221=13\times 17$

Как это можно использовать?

Brukvalub в сообщении #945460 писал(а):

Сведите уравнение к виду:

$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}.$$

Вот, что получается:

$$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}$$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{25}+\overline{157}=\overline{0}$$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{25}=-\overline{157}$$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{25}=-\overline{157}+\overline{221}$$

$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}$$

$$x+\overline{5}=\pm\overline{8}$$

$$x_1=\overline{3}, x_2=-\overline{13}$$

$$x_1\equiv3\pmod{221}, x_2\equiv-13\pmod{221}$$

Правильно?

[bot]

Так и знал, что попадётесь - это не все решения. Используйте подсказки в порядке их появления.

[ZumbiAzul]

bot в сообщении #945478 писал(а):

Так и знал, что попадётесь - это не все решения. Используйте подсказки в порядке их появления.

Только в обратном порядке если, то получается вот что.
Если

$$x_1\equiv3\pmod{221}, x_2\equiv-13\pmod{221},$$

то решениями также будут

$$x\equiv3\pmod{13}, x\equiv-13\pmod{13},$$

$$x\equiv3\pmod{17}, x\equiv-13\pmod{17}.$$

Правильно?

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #945486 писал(а):

то решениями также будут

$$x\equiv3\pmod{13}, x\equiv-13\pmod{13},$$

$$x\equiv3\pmod{17}, x\equiv-13\pmod{17}.$$

Вы точно знаете, какие здесь логические связки?

Кстати, если что, преподы часто требуют решения в виде $x\equiv ? \pmod {221}$.

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945488 писал(а):

Вы точно знаете, какие здесь логические связки?

Ну вроде как, если сравнение имеет место по разным модулям, то оно имеет место и по модулю их произведения.

Sonic86 в сообщении #945488 писал(а):

Кстати, если что, преподы часто требуют решения в виде $x\equiv ? \pmod {221}$.

Т.е. сразу рассмотреть два квадратных уравнения - по модулю 13 и по модулю 17, решить их, а потом объединить результат под один модуль 221, да?

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #945493 писал(а):

Ну вроде как, если сравнение имеет место по разным модулям, то оно имеет место и по модулю их произведения.

Нет. Вот Вы написали сложное высказывание из простых:

ZumbiAzul в сообщении #945486 писал(а):

решениями также будут

$$x\equiv3\pmod{13}, x\equiv-13\pmod{13},$$

$$x\equiv3\pmod{17}, x\equiv-13\pmod{17}.$$

Здесь опущены 3 логические связки. Вы точно в процессе решения поняли, каковы они?

ZumbiAzul в сообщении #945493 писал(а):

Т.е. сразу рассмотреть два квадратных уравнения - по модулю 13 и по модулю 17, решить их, а потом объединить результат под один модуль 221, да?

Можно так.

ZumbiAzul в сообщении #945475 писал(а):

$$(x+\overline{5})^2=\overline{64}$$

$$x+\overline{5}=\pm\overline{8}$$

переход неравносилен

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945496 писал(а):

Вы точно в процессе решения поняли, каковы они?

Я точно не понял, не могли бы Вы разъяснить, пожалуйста?

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #945506 писал(а):

Я точно не понял, не могли бы Вы разъяснить, пожалуйста?

Решение уравнения $(x-1)(x-2)=0$ имеет вид "$x=1$ или $x=2$". Одна связка "или"

Решение уравнения $(x-1)(y-2)=0$ имеет вид "$x=1$ и $y=2$". Одна связка "и".

У Вас 3 таких связки. Какие они?
Вы скорее всего просто не следите за ними. Просто я не верю, что Вам полностью понятно, проверил - так и есть. Хотя связки - это мелочь, можно переформулировать без них.

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945514 писал(а):

Решение уравнения $(x-1)(x-2)=0$ имеет вид "$x=1$ или $x=2$". Одна связка "или"

Решение уравнения $(x-1)(y-2)=0$ имеет вид "$x=1$ и $y=2$". Одна связка "и".

У Вас 3 таких связки. Какие они?
Вы скорее всего просто не следите за ними. Просто я не верю, что Вам полностью понятно, проверил - так и есть. Хотя связки - это мелочь, можно переформулировать без них.

Стало быть связки такие:

$x_1\equiv3\pmod{221}$ или $x_2\equiv-13\pmod{221}$

Если 221=13*17, то решениями также будут

$x_1\equiv3\pmod{13}$ и $x_1\equiv3\pmod{17},$

или

$x_2\equiv-13\pmod{13}$ и $x_2\equiv-13\pmod{17}.$

[Sonic86]

ZumbiAzul в сообщении #945520 писал(а):

$x_1\equiv3\pmod{13}$ и $x_1\equiv3\pmod{17},$

или

$x_2\equiv-13\pmod{13}$ и $x_2\equiv-13\pmod{17}.$

(Оффтоп)

здесь уже, видимо, проблемы перевода с естественного языка. Я бы записал не так. Но похоже. Ладно. В принципе, я бы счел это ответом.
Но препод может от Вас потребовать выписать решения по модулю $221$. Тут уж как хотите.

ZumbiAzul в сообщении #945520 писал(а):

Стало быть связки такие:

$x_1\equiv3\pmod{221}$ или $x_2\equiv-13\pmod{221}$

А вот это неверно.

[ZumbiAzul]

Sonic86 в сообщении #945530 писал(а):

здесь уже, видимо, проблемы перевода с естественного языка. Я бы записал не так. Но похоже. Ладно. В принципе, я бы счел это ответом.
Но препод может от Вас потребовать выписать решения по модулю $221$. Тут уж как хотите.

(Оффтоп)

Буду пробовать тогда с самого начала рассматривать 2 квадратных уравнения, чтобы в конце просто перемножить сравнения.

-- Сб дек 13, 2014 16:32:22 --

Вот по-другому:

Т.к. $221=13\cdot17$, то рассмотрим два кольца $\mathbb{Z}_1=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}.$

1. $\mathbb{Z}_1=\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}$$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{182-14\cdot13}=\overline{0}$$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{0}=\overline{0}$$

$$x^2+\overline{10}x=\overline{0}$$

$$x(x+\overline{10})=\overline{0}$$

Отсюда, либо $x=\overline{0}$, либо $x=\overline{3}$ (в кольце $\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}$)

2. $\mathbb{Z}_2=\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$

$$x^2+\overline{10}x+\overline{182}=\overline{0}$$

$$x^2+\overline{10-17}x+\overline{182-10\cdot17}=\overline{0}$$

$$x^2-\overline{7}x+\overline{12}=\overline{0}$$

Откуда, либо $x=\overline{3}$, либо $x=\overline{4}$ (в кольце $\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}$)

Правильно?

В принципе, получилось то же самое. А как написать ответ по модулю 221 (т.е. в кольце $\mathbb{Z}/221\mathbb{Z}$)?

[ZumbiAzul]

Наверное, так:

$x\equiv3\pmod{221}$ или $x\equiv-13\pmod{221}$.

Правильно?