Призма, отношение радиусов шаров.

[Andrei94]

В прямой четырехугольной призме в основании лежит ромб $ABCD$.
Точки $I,J,K$ -- середины сторон $AE,AD,AB$ соответственно.
Найдите отношение радиусов шаров вписанных в желто-зеленый ($r$) и сине-желтый многогранники ($R$).

Пока что понимаю, центры этих шаров лежат на диагонали $AG$, потому как желтая плоскость является касательной плоскостью в точке касания шаров и из соображений симметрии.

Есть еще идея через подобие. Объем желто-зеленого многогранника в $V_0$ в $32$ раза меньше, чем объем всей призмы $V$, то есть $V=32V_0$

Тогда можно составить отношение $\dfrac{V}{V_0}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3=32$

Верно ли про отношение объемов, что оно $32$, а про это $\dfrac{V}{V_0}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3$?

Значит отношение радиусов равно $\sqrt[3]{32}$. Верно ли это?

[redicka]

Так нужно было и шары изобразить

[provincialka]

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):

Объем желто-зеленого многогранника в $V_0$ в $32$ раза меньше, чем объем всей призмы $V$, то есть $V=32V_0$

Нет, ведь желто-зеленый - не призма, а пирамида! Его объем равен $\frac13$ площади основания на высоту.

-- 12.12.2014, 01:27 --

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):

Тогда можно составить отношение $\dfrac{V}{V_0}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^3=32$

Почему? Ведь многогранники не подобны.

-- 12.12.2014, 01:29 --

Надо разобраться с такой проблемой. Шар, вписанный в призму, будет касаться всех ее граней. Будет ли то же верно для "синего" многогранника?

[Andrei94]

provincialka в сообщении #944667 писал(а):

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):

Объем желто-зеленого многогранника в $V_0$ в $32$ раза меньше, чем объем всей призмы $V$, то есть $V=32V_0$

Нет, ведь желто-зеленый - не призма, а пирамида! Его объем равен $\frac13$ площади основания на высоту.
Пирамида $AIKJ$ (зеленая) подобна пирамиде $AEBD$ с коэфициентом подобия $2$. Разве не так?
А таких пирамид влезает во всю синию призму 4 штуки. Разве не так?

-- 12.12.2014, 08:15 --

provincialka в сообщении #944667 писал(а):

Надо разобраться с такой проблемой. Шар, вписанный в призму, будет касаться всех ее граней. Будет ли то же верно для "синего" многогранника?

Мне кажется, что плоскость $IKJ$ может помешать вписать в синей многогранник, потому как может не всех граней коснуться. С другой стороны, может при каком-то угле ромба это выйдет.

[Evgenjy]

Диаметр большого вписанного шара есть минимум расстояний между парами параллельных плоскостей. При этом кроме граней призмы следует рассмотреть пару плоскостей, одна из которых $IJK$, а другая $-$ центральносимметричная ей плоскость (относительно центра призмы).

-- 12.12.2014, 09:41 --

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):

Пока что понимаю, центры этих шаров лежат на диагонали $AG$, потому как желтая плоскость является касательной плоскостью в точке касания шаров и из соображений симметрии.

Для этого $AG$ должна быть перпендикулярна $IJK$, что вряд ли верно.

[provincialka]

Andrei94 в сообщении #944750 писал(а):

А таких пирамид влезает во всю синию призму 4 штуки. Разве не так?

С чего вы взяли? Объем пирамиды (конуса) равен $1/3$ объема призмы с таким же основанием и высотой.

[TOTAL]

У ромба со стороной $2$ угол равен $60$ градусов. Высота призмы равна $\sqrt3$

[Батороев]

Andrei94 в сообщении #944581 писал(а):

Есть еще идея через подобие.

Идея хорошая, но направление выбрано не правильно. Через объемы разнородных тел найти отношение радиусов вряд ли возможно. Попробуйте достроить одно из тел до подобного второму.

[gris]

Может быть попробовать использовать площади поверхности тел? Ведь если в многогранники вписаны шары, то отношение их радиусов можно представить в виде произведения двух отношений даже без всякого подобия.

[Skeptic]

Сначала нужно найти размеры призмы, в которую можно вписать шар. Затем убедится, что вписанный шар касается секущей плоскости.
Мне не удалось вписать шар в сине-желтый многогранник ($R$). Получается, что в таком виде задача не имеет решения.

[provincialka]

gris в сообщении #944867 писал(а):

Может быть попробовать использовать площади поверхности тел? Ведь если в многогранники вписаны шары, то отношение их радиусов можно представить в виде произведения двух отношений даже без всякого подобия.

provincialka в сообщении #944667 писал(а):

Надо разобраться с такой проблемой. Шар, вписанный в призму, будет касаться всех ее граней. Будет ли то же верно для "синего" многогранника?

[gris]

Я так и не понял, во что вписан больший шар. Ибо если в призму, то задача тривиальна. А если в разность призмы и пирамиды, то нужно ещё посмотреть на его существование. А если шар существует, то он же и в призму будет вписан заодно. Что если рассмотреть сечение $AEGC$?

[provincialka]

Кстати, gris, в задаче не указаны углы ромба, лежащего в основании. Может, имеется в виду, что он подобран так, чтобы синий многогранник получился описанным? Тогда задача решается действительно, легко.

[gris]

Ну если взять куб, который удовлетворяет условиям, то косая плоскость будет пересекать шар. Но если ромбить основание, то по соображениям непрерывности будет существовать касание. Можно и без объёмов обойтись. Так ведь TOTAL же озвучил.

[Батороев]

Пропорции и углы сторон тел, которые удовлетворяют условиям задачи, уже озвучил TOTAL. Но искать их совсем необязательно - надо принять то, что сферы вписываются, как за данное.

Если пройти по варианту, который я ранее предложил, то решение задачи будет совсем не сложным.
Допустим большее тело достраиваем до подобного малому. Для этого в сечении $ACGE$ проводим след сечения $IJK$ и продлеваем этот след до пересечения с $EG$ и $CG$. Получили треугольник, который является сечением большой пирамиды плоскостью $ACGE$.