Найти аргумент комплексного числа

[ZumbiAzul]

Уважаемые форумчане!
Помогите, плиз, разобраться в следующей задаче.

Задача: найти аргумент комплексного числа $z$, удовлетворяющего условию $|z|=||z|+z|$

1. Первый вариант решения - найдем $a$, $b$, полагая $z=a+bi$, и $\arg{z}=\arctg{\frac{b}{a}}$.

Получается следующая цепочка равенств:

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2} \eqno (1.1)$$

$$|z|+z=a+\sqrt{a^2+b^2}+bi \eqno (1.2)$$

$$||z|+z|=\sqrt{(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2} \eqno (1.3)$$

$$0=|z|-||z|+z|=\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2} \eqno (1.4)$$

$$a^2+b^2=(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2 \eqno (1.5)$$

$$a^2+b^2=a^2+2a\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2+b^2 \eqno (1.6)$$

$$0=2a\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2 \eqno (1.7)$$

$$\sqrt{a^2+b^2}=-\frac{a^2+b^2}{2a} \eqno (1.8)$$

$$a^2+b^2=\frac{(a^2+b^2)^2}{4a^2} \eqno (1.9)$$

$$a^2+b^2=\frac{a^4+b^4+2a^2 b^2}{4a^2} \eqno (1.10)$$

$$a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}\frac{b^4}{a^2}+\frac{1}{2} b^2 \eqno (1.11)$$

$$1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\frac{b^4}{a^4}+\frac{1}{2} \frac{b^2}{a^2} \eqno (1.12)$$

$$\frac{b^4}{a^4}-2\frac{b^2}{a^2}-3=0 \eqno (1.13)$$

$$\frac{b^2}{a^2}=3, \frac{b^2}{a^2}=-1 \eqno (1.14)$$

$$b^2=3{a^2}, {b^2}=-{a^2} \eqno (1.15)$$

Первое решение при подстановке в (5) дает неправильный результат $2a=\sqrt{12}a$, второе решение тоже не подходит, т.к. $a,b$ - вещественные числа. Что делать?

2. Второй вариант решения. Получается следующая цепочка:

$$|z|=||z|+z| \eqno (2.1)$$

$$|z|^2=||z|+z|^2 \eqno (2.2)$$

$$z\overline{z}=(|z|+z)\overline{(|z|+z)} \eqno (2.3)$$

$$z\overline{z}=(|z|+z){(|z|+\overline{z})} \eqno (2.4)$$

$$z\overline{z}=|z|^2+\overline{z}|z|+z|z|+z\overline{z} \eqno (2.5)$$

$$|z|^2+|z|(\overline{z}+z)=0 \eqno (2.6)$$

$$|z|+a=0 \eqno (2.7)$$

$$a=-|z| \eqno (2.8)$$

Таким образом, если $z=|z|(\cos \phi + i \sin \phi) = a+ib = -|z| + ib = |z|(-1+i \frac{b}{|z|})$, то $\cos \phi =-1, \phi=\pi+2\pi n$. Но тогда $\sin(\pi+2\pi n)=0$ и значит $b=0$. Получается, что $z=a=-|z|$. Но, опять, при подстановке такого $z$ в исходное уравнение (2.1) получаем странное равенство $|z|=0 (a=0)$. Что делать? Ясное дело, что решение $a=b=0$ при обоих методах решений, удовлетворяют уравнению. Но аргумент комплексного числа тогда не определен. Поэтому надо искать нетривиальные решения, что у меня пока не очень получается :(

[provincialka]

Заметьте, что $\bar{z}+z =2a$. При переходе к (2.7) вы эту двойку потеряли.

[Sicker]

это геометрическая задача, очевидно что $z=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

[ewert]

ZumbiAzul в сообщении #944345 писал(а):

$$|z|^2+|z|(\overline{z}+z)=0 \eqno (2.6)$$

$$|z|+a=0 \eqno (2.7)$$

Шестая формула абсолютно разумна (только должна она была быть не два-шестой, а нуль-второй или максимум третьей, начиная с самого условия). А вот седьмая уже совсем сторону. Т.к. "шестая" означает попросту, что $|z|=-2\operatorname{Re}z$, после чего, да, тупо геометрия.

[ZumbiAzul]

provincialka в сообщении #944353 писал(а):

Заметьте, что $\bar{z}+z =2a$. При переходе к (2.7) вы эту двойку потеряли.

Точно! Спасибо!

Sicker в сообщении #944355 писал(а):

это геометрическая задача, очевидно что $z=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

А как решить чисто геометрически, без преобразований? Можете просто хотя бы словами описать, плиз, а там я сам попробую?

[ewert]

Чисто геометрически можно, например, заменить для начала внутренний модуль на отрицательный параметр $(-a)$ и посмотреть на геометрическое место точек, удовлетворяющих полученному уравнению. Это будет, естественно, соотв. вертикальная прямая. А потом найти на этой прямой точки, для которых модуль равен именно $a$.

Однако это требует некоторого напряжения фантазии; лучше всё-таки начать с формальных преобразований, благо выражение модулей через сопряжённые напрашивается. А вот дальше -- следует вовремя остановиться и перейти от аналитики к геометрии.

[ZumbiAzul]

ewert в сообщении #944378 писал(а):

Чисто геометрически можно, например, заменить для начала внутренний модуль на отрицательный параметр $(-a)$ и посмотреть на геометрическое место точек, удовлетворяющих полученному уравнению. Это будет, естественно, соотв. вертикальная прямая. А потом найти на этой прямой точки, для которых модуль равен именно $a$.

Однако это требует некоторого напряжения фантазии; лучше всё-таки начать с формальных преобразований, благо выражение модулей через сопряжённые напрашивается. А вот дальше -- следует вовремя остановиться и перейти от аналитики к геометрии.

Ясно, спасибо!

[nnosipov]

ZumbiAzul в сообщении #944345 писал(а):

$z=a+bi$, и $\arg{z}=\arctg{\frac{b}{a}}$

Кто Вас научил этой формуле для аргумента? Она неверна.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #944429 писал(а):

ZumbiAzul в сообщении #944345 писал(а):

$z=a+bi$, и $\arg{z}=\arctg{\frac{b}{a}}$

Кто Вас научил этой формуле для аргумента? Она неверна.

ну, вне периферии сороканожести (а тут мы именно там) -- она всё-таки верна

(где под "вне" следует понимать "внутри" и наоборот; извините мой французский)