2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 17:10 


24/03/11
198
Уважаемые форумчане!
Помогите, плиз, разобраться в следующей задаче.

Задача: найти аргумент комплексного числа $z$, удовлетворяющего условию $|z|=||z|+z|$

1. Первый вариант решения - найдем $a$, $b$, полагая $z=a+bi$, и $\arg{z}=\arctg{\frac{b}{a}}$.

Получается следующая цепочка равенств:
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2} \eqno (1.1)$$ $$|z|+z=a+\sqrt{a^2+b^2}+bi \eqno (1.2)$$ $$||z|+z|=\sqrt{(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2} \eqno (1.3)$$ $$0=|z|-||z|+z|=\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2} \eqno (1.4)$$ $$a^2+b^2=(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2 \eqno (1.5)$$ $$a^2+b^2=a^2+2a\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2+b^2 \eqno (1.6)$$ $$0=2a\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2 \eqno (1.7)$$ $$\sqrt{a^2+b^2}=-\frac{a^2+b^2}{2a} \eqno (1.8)$$ $$a^2+b^2=\frac{(a^2+b^2)^2}{4a^2} \eqno (1.9)$$ $$a^2+b^2=\frac{a^4+b^4+2a^2 b^2}{4a^2} \eqno (1.10)$$ $$a^2+b^2=\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}\frac{b^4}{a^2}+\frac{1}{2} b^2 \eqno (1.11)$$ $$1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\frac{b^4}{a^4}+\frac{1}{2} \frac{b^2}{a^2} \eqno (1.12)$$ $$\frac{b^4}{a^4}-2\frac{b^2}{a^2}-3=0 \eqno (1.13)$$ $$\frac{b^2}{a^2}=3, \frac{b^2}{a^2}=-1 \eqno (1.14)$$ $$b^2=3{a^2}, {b^2}=-{a^2} \eqno (1.15)$$ Первое решение при подстановке в (5) дает неправильный результат $2a=\sqrt{12}a$, второе решение тоже не подходит, т.к. $a,b$ - вещественные числа. Что делать?

2. Второй вариант решения. Получается следующая цепочка:
$$|z|=||z|+z| \eqno (2.1)$$ $$|z|^2=||z|+z|^2 \eqno (2.2)$$ $$z\overline{z}=(|z|+z)\overline{(|z|+z)} \eqno (2.3)$$ $$z\overline{z}=(|z|+z){(|z|+\overline{z})} \eqno (2.4)$$ $$z\overline{z}=|z|^2+\overline{z}|z|+z|z|+z\overline{z} \eqno (2.5)$$ $$|z|^2+|z|(\overline{z}+z)=0 \eqno (2.6)$$ $$|z|+a=0 \eqno (2.7)$$ $$a=-|z| \eqno (2.8)$$ Таким образом, если $z=|z|(\cos \phi + i \sin \phi) = a+ib = -|z| + ib = |z|(-1+i \frac{b}{|z|})$, то $\cos \phi =-1, \phi=\pi+2\pi n$. Но тогда $\sin(\pi+2\pi n)=0$ и значит $b=0$. Получается, что $z=a=-|z|$. Но, опять, при подстановке такого $z$ в исходное уравнение (2.1) получаем странное равенство $|z|=0 (a=0)$. Что делать? Ясное дело, что решение $a=b=0$ при обоих методах решений, удовлетворяют уравнению. Но аргумент комплексного числа тогда не определен. Поэтому надо искать нетривиальные решения, что у меня пока не очень получается :(

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Заметьте, что $\bar{z}+z =2a$. При переходе к (2.7) вы эту двойку потеряли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 17:26 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
это геометрическая задача, очевидно что $z=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 18:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ZumbiAzul в сообщении #944345 писал(а):
$$|z|^2+|z|(\overline{z}+z)=0 \eqno (2.6)$$ $$|z|+a=0 \eqno (2.7)$$

Шестая формула абсолютно разумна (только должна она была быть не два-шестой, а нуль-второй или максимум третьей, начиная с самого условия). А вот седьмая уже совсем сторону. Т.к. "шестая" означает попросту, что $|z|=-2\operatorname{Re}z$, после чего, да, тупо геометрия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 18:17 


24/03/11
198
provincialka в сообщении #944353 писал(а):
Заметьте, что $\bar{z}+z =2a$. При переходе к (2.7) вы эту двойку потеряли.

Точно! Спасибо! :-)
Sicker в сообщении #944355 писал(а):
это геометрическая задача, очевидно что $z=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

А как решить чисто геометрически, без преобразований? Можете просто хотя бы словами описать, плиз, а там я сам попробую?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 18:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Чисто геометрически можно, например, заменить для начала внутренний модуль на отрицательный параметр $(-a)$ и посмотреть на геометрическое место точек, удовлетворяющих полученному уравнению. Это будет, естественно, соотв. вертикальная прямая. А потом найти на этой прямой точки, для которых модуль равен именно $a$.

Однако это требует некоторого напряжения фантазии; лучше всё-таки начать с формальных преобразований, благо выражение модулей через сопряжённые напрашивается. А вот дальше -- следует вовремя остановиться и перейти от аналитики к геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 18:49 


24/03/11
198
ewert в сообщении #944378 писал(а):
Чисто геометрически можно, например, заменить для начала внутренний модуль на отрицательный параметр $(-a)$ и посмотреть на геометрическое место точек, удовлетворяющих полученному уравнению. Это будет, естественно, соотв. вертикальная прямая. А потом найти на этой прямой точки, для которых модуль равен именно $a$.

Однако это требует некоторого напряжения фантазии; лучше всё-таки начать с формальных преобразований, благо выражение модулей через сопряжённые напрашивается. А вот дальше -- следует вовремя остановиться и перейти от аналитики к геометрии.

Ясно, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 19:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ZumbiAzul в сообщении #944345 писал(а):
$z=a+bi$, и $\arg{z}=\arctg{\frac{b}{a}}$
Кто Вас научил этой формуле для аргумента? Она неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти аргумент комплексного числа
Сообщение11.12.2014, 20:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #944429 писал(а):
ZumbiAzul в сообщении #944345 писал(а):
$z=a+bi$, и $\arg{z}=\arctg{\frac{b}{a}}$
Кто Вас научил этой формуле для аргумента? Она неверна.

ну, вне периферии сороканожести (а тут мы именно там) -- она всё-таки верна

(где под "вне" следует понимать "внутри" и наоборот; извините мой французский)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group