Поиск аналитической функции по графику

[embi]

Добрый день! Прошу оказать помощь в поиске аналитической формы для функции следующего вида - см. график.



Особенности функции:
1) определена при $x>0$
2) $f(x) \to 0$ при $x \to 0$
3) $f(x) \to a=\operatorname{const}$ при $x \to $\infty$ (горизонтальная асимптота)
4) у $f(x) $ есть максимум $b, b>a$
5) значение функции растет до значения $b$, потом асимптотически стремится к $a$

Требуется найти гладкую функцию, удовлетворяющую таким требованиям. Важно найти функцию, которая удовлетворительно описывает зависимость $f(x)$ от $x$, но не обязательно максимально точно с точки зрения регрессии, поэтому вариант с многочленом высоких степеней не проходит. К тому же решение с помощью многочлена сложно интерпретировать с содержательной точки зрения.

Буду благодарен за помощь!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[grizzly]

Такое на $[0;+\infty ]$ вроде подходит:
$y=\ln(1+x/(1+x^2))$
(Первое, что пришло в голову. Можно и проще, наверное.)

[ИСН]

${x\over x+1}+{x\over x^2+1}$

[12d3]

$a+(kx-a)e^{-x}$

[embi]

Коллеги, спасибо за советы! Начал работать над функцией вида $a+(kx-a)\exp(-x)$. Похоже, подходит лучше всего.

[arseniiv]

(Оффтоп)

embi в сообщении #943583 писал(а):

поэтому вариант с многочленом высоких степеней не проходит

Ну, вообще-то он не проходит по другой причине — многочлена с указанными свойствами не существует.

[mserg]

Еще один вариант (подобран специальной программой):

y=1.6405854195587*Ln(2.36881451819591+x)^(1.81573472315699/x)

Вроде как обладает заданными свойствами и дает высокую точность аппроксимации.

[ИСН]

На рисунке нет ни одной цифры. У Вас - есть. Откуда?

[mserg]

Слышали о маньяках?
Это на языке R - считывание графика с картинки:

library("png")

img<-readPNG("d:/swap/dxdy/dxdy.png")
gr <-img[,,1]+img[,,2]*256+img[,,3]*(256*256)
vals<-unique(as.vector((gr)))
args<-1:552
freqs<-rep(0,552)
sums <- rep(0,552)
for (i in 1:dim(img)[1])
  for (j in 1:dim(img)[2])
    if (gr[i,j]!=vals[8])
      img[i,j,]<-c(1,1,1,1) else
      {
        freqs[j]=freqs[j]+1
        sums[j]=sums[j]+268-i
      }
plot(c(0,0,1,1),c(0,1,0,1))
rasterImage(img,0,0,1,1)

out<-data.frame(x=args/100, v=sums/pmax(1,freqs)/100)
out<-out[freqs>0,]
#plot(out,pch = 16)
write.csv(out,"D:/Projects/Discovery/Tests/Data/Embi/in.csv",quote=F,row.names=F)

[ИСН]

(нервно курит в углу)
Да... Однако!

[arseniiv]

mserg, а повёрнутую (или потенциально перспективно искажённую) с изменениями цвета и посторонними линиями считаете?

[mserg]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #944044 писал(а):

mserg, а повёрнутую (или потенциально перспективно искажённую) с изменениями цвета и посторонними линиями считаете?

Не смог понять прочитанное...

Просто строится гистограмма цветов; экспериментально нашел, что "цвет" для конкретной картинки в гистограмме №8 есть центр линии. Вот собственно и все.

Если меняется цвет линии, функция неоднозначна и т.п. - R-скрипт для такой картинки работать не будет.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ясно.