2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Иногда элементарная геометрия "дает сто очков вперед" аналитической. Но про вашу задачу не знаю, не думала пока. Давайте сначала с алгеброй разберемся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Могу заменой свести к квадратному относительно одной из переменных.

$u = x + y, v = xy$
$2v^2 - 4v(u^2 - 2) = u^4 - 4$

-- 08.12.2014, 21:54 --

Корни $v = (u^2 - 2) ± \sqrt{\frac{(u^2 - 2)(u^2 - 6)}{2}}$

Тогда нужно определить, при каких целых $k$ число $8k^4 - 2$ есть полный квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Ну вот, уже что-то. А когда квадратные уравнения имеют решения (не обязательно целочисленные)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Когда дискриминант больше или равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Нет, так не пойдет. Посмотрела на ваш дискриминант - ничего в нем хорошего нет.
Давайте просто посчитаем левую ($L$) и правую ($R$) части.
$$x=1, y=2, L = 17, R = 20$$
$$x=1, y=3, L = 82, R = 28$$
$$x=1, y=4, L = 257, R = 36$$
$$x=2, y=2, L = 32, R = 36$$
$$x=2, y=3, L = 97, R = 52$$
$$x=2, y=4, L = 272, R = 66$$
Ну как? Заметили что-нибудь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Целых решений нет. Рассмотрим выражение $8k^4 = n^2 + 2$ по модулю восемь. Отсюда имеем, что квадрат по модулю восемь должен иметь остаток 6, а это невозможно. Противоречие.

-- 08.12.2014, 22:11 --

Заметил, что правая часть слишк медленно растёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
StaticZero в сообщении #942650 писал(а):
Заметил, что правая часть слишком медленно растёт.
Ну да. Вам про это намекали:
nnosipov в сообщении #942584 писал(а):
Я имел в виду иные соображения, которые тоже очевидны и годятся для любого уравнения вида $x^4+y^4=f(x,y)$, где $\deg{f} \leqslant 3$.
Этих "соображений" достаточно, чтобы решить вопрос о конечности множества решений. Если же вам нужны они сами - можно использовать перебор, сравнения и другие "кундштюки" (в просторечьи - финты ушами).

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Для существования бесконечного множества решений нужно, чтобы уравнение допускало параметризацию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Ой! А что это значит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Допустим, что уравнение от двух переменных $u$ и $v$. Я хочу назвать параметризацией ситуацию, когда $u = f(v)$ и $f$ - целая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Какие у вас все сильные требования! Я думала, будет хотя бы $u = f(t), v = g(t)$. По-крайней мере, здесь есть параметр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 22:06 
Заслуженный участник


27/06/08
4065
Волгоград
Sonic86 в сообщении #942604 писал(а):
StaticZero в сообщении #942603 писал(а):
А для указанного уравнения как проверить конечность количества решений?
никак
Ну зачем же столь категорично?!
Тем более, после прямо противоположных мнений "зубров" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
provincialka в сообщении #942685 писал(а):
Какие у вас все сильные требования! Я думала, будет хотя бы $u = f(t), v = g(t)$. По-крайней мере, здесь есть параметр.

Ну это в общем случае, да, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Не являюсь знатоком диофантовых уравнений. Но по моему ощущению, в них никогда нельзя ограничиться одним методом или набором методов. Всегда найдется что-нибудь еще.

А все-таки меня терзают смутные сомнения. Зачем вам это все? Какой-то неопределенный треп обо всем и ни о чем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я
Сообщение08.12.2014, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Например, задания, где требуется определить бесконечность решений. Если находим параметризацию, то мы победили.

-- 08.12.2014, 23:33 --

А по поводу геометрической задачи у вас есть мысли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group