Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я

[provincialka]

Иногда элементарная геометрия "дает сто очков вперед" аналитической. Но про вашу задачу не знаю, не думала пока. Давайте сначала с алгеброй разберемся.

[StaticZero]

Могу заменой свести к квадратному относительно одной из переменных.

$u = x + y, v = xy$
$2v^2 - 4v(u^2 - 2) = u^4 - 4$

-- 08.12.2014, 21:54 --

Корни $v = (u^2 - 2) ± \sqrt{\frac{(u^2 - 2)(u^2 - 6)}{2}}$

Тогда нужно определить, при каких целых $k$ число $8k^4 - 2$ есть полный квадрат.

[provincialka]

Ну вот, уже что-то. А когда квадратные уравнения имеют решения (не обязательно целочисленные)?

[StaticZero]

Когда дискриминант больше или равен нулю.

[provincialka]

Нет, так не пойдет. Посмотрела на ваш дискриминант - ничего в нем хорошего нет.
Давайте просто посчитаем левую ($L$) и правую ($R$) части.

$$x=1, y=2, L = 17, R = 20$$

$$x=1, y=3, L = 82, R = 28$$

$$x=1, y=4, L = 257, R = 36$$

$$x=2, y=2, L = 32, R = 36$$

$$x=2, y=3, L = 97, R = 52$$

$$x=2, y=4, L = 272, R = 66$$

Ну как? Заметили что-нибудь?

[StaticZero]

Целых решений нет. Рассмотрим выражение $8k^4 = n^2 + 2$ по модулю восемь. Отсюда имеем, что квадрат по модулю восемь должен иметь остаток 6, а это невозможно. Противоречие.

-- 08.12.2014, 22:11 --

Заметил, что правая часть слишк медленно растёт.

[provincialka]

StaticZero в сообщении #942650 писал(а):

Заметил, что правая часть слишком медленно растёт.

Ну да. Вам про это намекали:

nnosipov в сообщении #942584 писал(а):

Я имел в виду иные соображения, которые тоже очевидны и годятся для любого уравнения вида $x^4+y^4=f(x,y)$, где $\deg{f} \leqslant 3$.

Этих "соображений" достаточно, чтобы решить вопрос о конечности множества решений. Если же вам нужны они сами - можно использовать перебор, сравнения и другие "кундштюки" (в просторечьи - финты ушами).

[StaticZero]

Для существования бесконечного множества решений нужно, чтобы уравнение допускало параметризацию?

[provincialka]

Ой! А что это значит?

[StaticZero]

Допустим, что уравнение от двух переменных $u$ и $v$. Я хочу назвать параметризацией ситуацию, когда $u = f(v)$ и $f$ - целая функция.

[provincialka]

Какие у вас все сильные требования! Я думала, будет хотя бы $u = f(t), v = g(t)$. По-крайней мере, здесь есть параметр.

[VAL]

Sonic86 в сообщении #942604 писал(а):

StaticZero в сообщении #942603 писал(а):

А для указанного уравнения как проверить конечность количества решений?

никак

Ну зачем же столь категорично?!
Тем более, после прямо противоположных мнений "зубров"

[StaticZero]

provincialka в сообщении #942685 писал(а):

Какие у вас все сильные требования! Я думала, будет хотя бы $u = f(t), v = g(t)$. По-крайней мере, здесь есть параметр.

Ну это в общем случае, да, согласен.

[provincialka]

Не являюсь знатоком диофантовых уравнений. Но по моему ощущению, в них никогда нельзя ограничиться одним методом или набором методов. Всегда найдется что-нибудь еще.

А все-таки меня терзают смутные сомнения. Зачем вам это все? Какой-то неопределенный треп обо всем и ни о чем.

[StaticZero]

Например, задания, где требуется определить бесконечность решений. Если находим параметризацию, то мы победили.

-- 08.12.2014, 23:33 --

А по поводу геометрической задачи у вас есть мысли?