Замечательные факты в геометрии. Диофантовы ур-я

[StaticZero]

Добрый вечер.
Имеются два вопроса: один по геометрии, второй по алгебре.

1) Есть некий треугольник с заданными сторонами $a$, $b$ и острыми углами. На третьей стороне, которую мы не знаем, взяли серединку. Теперь нашли точку пересечения высот $T$, середину третьей стороны $M$ и провели луч $MT $ до пересечения $P$ с описанной окружностью. Теперь проведём прямую через точку $P$ и основание высоты треугольника к неизвестной стороне до пересечения $X$ с описанной окружностью. Эта вся бесовщина не даёт мне покоя вторую неделю. Интересует вот что: как можно через угол между $a$ и $b$ выразить расстояние от $X$ до вершин треугольника? Векторы не чувствуют окружность, а аналитическая геометрия мало поможет своими громоздкими формулами.

2) Вот дано диофантово уравнение. Можно ли определить конечность количества его решений?

Буду признателен, если поможете.

[provincialka]

1) по ходу изложения появляются неописанные точки. Что такое $N$? Что такое $E$?
2) Что? Прям так у любого диофантова уравнения?

Бравый солдат Швейк писал(а):

А теперь скажите: в каком году умерла у швейцара его бабушка?

[StaticZero]

Исправил.

Вот, например, $x^4 + y^4 = 4 + 8xy$. Что можно сказать о количестве решений? Как вообще понять, сколько их может быть?

[provincialka]

StaticZero, диофантовы уравнения в большинстве своем уникальны. Каждое надо исследовать индивидуально. Ну, не совсем каждое: есть классы.
Вот только в разделе "Помогите решить/разобраться" автор темы должен предложить свои попытки решения, иначе никак!

И зря вы свалили в один топик две такие разные задачи.

ЗЫ. А чего это

StaticZero в сообщении #942548 писал(а):

Векторы не чувствуют окружность

?

[Shadow]

StaticZero в сообщении #942571 писал(а):

Как вообще понять, сколько их может быть?

Очень легко, по модулю...

[nnosipov]

StaticZero в сообщении #942571 писал(а):

Вот, например, $x^4 + y^4 = 4 + 8xy$. Что можно сказать о количестве решений?

Ну, здесь-то точно конечное множество решений, и это очевидно.

-- Пн дек 08, 2014 23:49:10 --

Shadow в сообщении #942582 писал(а):

Очень легко, по модулю...

Я имел в виду иные соображения, которые тоже очевидны и годятся для любого уравнения вида $x^4+y^4=f(x,y)$, где $\deg{f} \leqslant 3$.

[StaticZero]

Ну не знаю, как объяснить, но окружность для векторов какая-то чужая. Не знаю, как она с ними взаимодействуют.

Попытки решения? Ну, допустим, если задать расстояние от одной вершины треугольника, можно упорно писать систему из двух квадратных уравнений. А потом делать вид, что она не громоздкая и в ней не запутаться.

(Оффтоп)

Формулы TEX тяжело с планшетного ПК набирать. Можно я буду избегать этого как можно больше?

-- 08.12.2014, 20:53 --

А про диофантовы уравнения я не знаю, как определять конечность или бесконечность их решений.

[nnosipov]

StaticZero в сообщении #942587 писал(а):

А про диофантовы уравнения я не знаю, как определять конечность или бесконечность их решений.

Никто не знает.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #942584 писал(а):

Я имел в виду иные соображения, которые тоже очевидны и годятся для любого уравнения вида $x^4+y^4=f(x,y)$, где $\deg{f} \leqslant 3$.

Ну да, конечно.

[StaticZero]

А для указанного уравнения как проверить конечность количества решений?

[Sonic86]

StaticZero в сообщении #942548 писал(а):

2) Вот дано диофантово уравнение. Можно ли определить конечность количества его решений?

Нет, ибо теорема Матиясевича: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0 ... 1%82%D0%B0

StaticZero в сообщении #942603 писал(а):

А для указанного уравнения как проверить конечность количества решений?

никак

[provincialka]

StaticZero, вы упорно хотите, чтобы мы за вас решили задачу. Нет уж, давайте сами. Хоть двиньтесь в каком-нибудь направлении. Кстати, подсказки были, правда, вы их вряд ли поняли.

В связи с этим вопрос: на кой зачем вам нужны эти решения?

[StaticZero]

Я не хочу, чтобы за меня решали задачи. Есть задачи, где я не понимаю, каким образом подходить к решению. Ладно, буду заниматься перебором модулей, чего ж остаётся.

[provincialka]

StaticZero, вы сконцентрируйтесь на одной задаче. И пишите сюда свои соображения. Мы всегда подключимся, если будет к чему.
(хотя геометрическая задачка пока не вдохновила)

Модули - это хорошо. Но там и другая подсказка была...
Вообще, когда решаешь диофантово уравнение, полезно "покрутить его в руках", поподставлять разные значения переменных. Может, чего и заметите.

[StaticZero]

По поводу геометрии я уже высказал некоторое соображение: её можно свести к задаче о пересечении двух окружностей, где известны какие-то хорды. Используя инструменты аналитической геометрии, получим систему квадратных уравнений. А решать её - ужасно.
Может быть, существует какой-то замечательный факт, связывающий приведённые точки каким-то образом?

-- 08.12.2014, 21:33 --

По поводу диофантового уравнения ничего не могу сказать.