Вопросозадачник maximpg

[Maximpg]

Уважаемые друзья/коллеги/единомышленники (на ваше усмотрение)!
Я не так давно поставил решительную для себя задачу разобраться в относительно современной теорфизике. Сейчас, в основном, имею дело с КТП. С университетским образованием (пока что я только бакалавр) на данный момент по ряду причин не сложилось, потому роль исправителей-указателей-направителей я дерзостно возлагаю на сей замечательный форум. Вопросы будут в основном технического характера, оборачивающиеся тем, что я где-то перепутал знак по своему обычаю. Но время от времени, думаю, буду радовать и более глубокими, философическими, так сказать, затруднениями. Начну, если позволите, вот с чего:
Tom Banks, Modern Quantum Field Theory: A Сonsice introduction
тут в свободном доступе
http://web.phys.ntnu.no/~mika/banks.pdf
Книжка, конечно, не совсем для новичков, надо сказать.
Непонятно, как выводить уравнения Швингера-Дайсона даже в форме 3.4 и 3.5, неправильные, т.е. без учета некоммутативности в общем случае $T$ и $\partial_0^2$.
У меня получается, что заместо $\partial^2$ следует писать $\partial_0^2$.
Вот пишет Том

$$Z[J]=\big<0\big|Te^{i \int d^4xJ(x)\phi(x)}\big|0\big>;$$

далее вывожу

$$\frac{\delta Z}{i \delta J(x)}=\big<0\big|T\phi(x)e^{i \int d^4yJ(y)\phi(y)}\big|0\big>.$$

Применяю $\partial_0^2$ к обеим частям, учитывая уравнения Гейзенберга, коммутационые соотношения для $\dot{\phi}$ и $\phi$ и плотность Гамильтониана $\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2+V(\phi)$:

$$\partial_0^2\frac{\delta Z}{i \delta J(x)}=-\big<0\big|T\frac{\partial V}{\partial \phi}(x)e^{i \int d^4yJ(y)\phi(y)}\big|0\big>.$$

Где он берет еще лапласиан, если у него $\partial$ заместо $\partial_0$, вот в чем вопрос!


Второй вопрос касается, скажем, уравнения 2.5 и последующих.
Я правильно понимаю, что импульс $p$ входит в $a(p)$ как параметр, а не аргумент, и $\frac{\partial}{\partial p^j}$ на него не действует? Иначе производную (как предел) не определить.

[espe]

Maximpg в сообщении #940620 писал(а):

У меня получается, что заместо $\partial^2$ следует писать $\partial_0^2$.

Почему?

Maximpg в сообщении #940620 писал(а):

Где он берет еще лапласиан, если у него $\partial$ заместо $\partial_0$, вот в чем вопрос!

Думаю, что отсюда $\partial^2=\partial_0^2-\Delta.$

Maximpg в сообщении #940620 писал(а):

Я правильно понимаю, что импульс $p$ входит в $a(p)$ как параметр, а не аргумент, и $\frac{\partial}{\partial p^j}$ на него не действует? Иначе производную (как предел) не определить.

Может я туплю, но я не понимаю разницы между параметром и аргументом. В обоих случаях это буква, значение которой может меняться от минус до плюс бесконечности. Понимайте (2.5) как обычно: сначала на вектор состояния действует $a(p)$, потом на получившийся вектор состояния (зависящий от $p$) действует $\partial/\partial p,$ и т.д.

[Maximpg]

Короче говоря, я попросту не понимаю, откуда берутся эти уравнения. Автор уверяет, что достаточно применить уравнения Гейзенберга.

espe в сообщении #940707 писал(а):

Может я туплю, но я не понимаю разницы между параметром и аргументом. В обоих случаях это буква, значение которой может меняться от минус до плюс бесконечности. Понимайте (2.5) как обычно: сначала на вектор состояния действует $a(p)$, потом на получившийся вектор состояния (зависящий от $p$) действует $\partial/\partial p,$ и т.д.

Вектор $\big|p+dp\big>-\big|p\big>$ не является бесконечно малым, это суперпозиция двух независимых состояний. Вопрос на самом деле почему он генератор поместил между операторами рождения и уничтожения. Только для красоты или в этом есть математический смысл.

[espe]

(3.4) получается как-то так (т.е. без учета некоммутативности $T$ и $\partial_0^2$):

$$\partial^2\frac{\delta Z}{i \delta J(x)}=\langle 0|T\;\partial^2\phi(x)\; e^{i \int d^4yJ(y)\phi(y)}|0\rangle =-\langle 0|T\frac{\partial V}{\partial \phi}(x)e^{i \int d^4yJ(y)\phi(y)}|0\rangle.$$

Здесь использовалось уравнение $\partial^2\phi+\frac{\partial V}{\partial \phi}=0.$

По поводу второго вопроса. Берём например одночастичное состояние $|\varphi\rangle=\int d^3p\; \varphi(p)\; a^+(p)|0\rangle$ и действуем оператором (2.5). Получаем

$$J_{ij}|\varphi\rangle=\int d^3p\; i\biggl(p_i\frac{\partial \varphi(p)}{\partial p_j}-p_j\frac{\partial \varphi(p)}{\partial p_i} \biggr)a^+(p)|0\rangle$$

?

[Maximpg]

espe в сообщении #941197 писал(а):

Здесь использовалось уравнение $\partial^2\phi+\frac{\partial V}{\partial \phi}=0.$

Это уравнение отлично подходит к задаче, да. Но вот только оно классическое, т.е. получается, как понял, из Эйлера-Лагранжа. В тексте же ссылаются на Гейзенберга и коммутационные соотношения. Когда я проделываю это, $\dot\phi$ коммутирует у меня со всеми другими одновременными производными, и выживает в коммутаторе только потенциальная часть $V(\phi)$ гамильтониана:

$$\partial_0^2\phi=i\left[\int d^3x\,V(\phi), \dot\phi\right]=-\frac{\partial V}{\partial\phi}.$$

Ошибка тут у меня где-то, на целый лапласиан.

espe в сообщении #941197 писал(а):

Берём например одночастичное состояние $|\varphi\rangle=\int d^3p\; \varphi(p)\; a^+(p)|0\rangle$

Насчет второго вопроса, да, для одночастичного состояния выходит правильно, потому что по факту в данном случае оператор действует только на функцию $\varphi(p)$. Но вот если состояния двухчастичные, например включающие $a^+(p)a^+(p)$, то проблема возвращается. А когда он еще вот такое пишет:

$$\delta\left|p\right>=\left(\frac{p_i\nu^i}{2\omega_p}+\omega_p\nu^i\frac{\partial}{\partial p^i}\right)\left|p\right>,$$

мне становится совсем неуютно. Он, по-моему, обращается с векторами гильбертового пространства как с обычными функциями, что совершенно необоснованно. Я выше говорил почему. Если просто сказать, что операторы эти действуют только на функции, так как по сути они представляют просто матричные элементы соответствующих одночастичных операторов, то все становится прозрачнее. Именно этот момент мне хотелось бы прояснить.

(Оффтоп)

постоянно кричит
[ОШИБКА] Вместо \phi (символ 12) следует использовать \varphi
Почему это $\phi$ вдруг нельзя писать? Приятная буковка.

[Munin]

Maximpg в сообщении #941267 писал(а):

постоянно кричит
[ОШИБКА] Вместо \phi (символ 12) следует использовать \varphi
Почему это $\phi$ вдруг нельзя писать? Приятная буковка.

Это сообщение для новичков. Можете его отключить в настройках форума.

[espe]

Maximpg в сообщении #941267 писал(а):

Но вот только оно классическое,

Классическое уравнение и квантовое уравнение в представлении Гейзенберга (по крайней мере в данном случае) совпадают по виду.
Если не согласны напишите свои уравнения в представлении Гейзенберга.

Maximpg в сообщении #941267 писал(а):

Когда я проделываю это, $\dot\phi$ коммутирует у меня со всеми другими одновременными производными,

Вы сейчас о выводе выражения (3.4) говорите или нет? Если да, то где там возникает коммутатор?

Maximpg в сообщении #941267 писал(а):

Но вот если состояния двухчастичные, например включающие $a^+(p)a^+(p)$,

Двухчастичное состояние имеет вид $|2\rangle=\int d^3p_1d^3p_2\; \varphi(p_1,p_2)\;a^+(p_1)a^+(p_2)|0\rangle$ и в том, как подествовать на него операторм $J_{ij}$ я не вижу.

Maximpg в сообщении #941267 писал(а):

А когда он еще вот такое пишет:

$$\delta\left|p\right>=\left(\frac{p_i\nu^i}{2\omega_p}+\omega_p\nu^i\frac{\partial}{\partial p^i}\right)\left|p\right>,$$

мне становится совсем неуютно.

Чтобы чувствовать себя более уютно, можете написать состояние $|p\rangle$ в виде

$$|p\rangle=\int d^3k\; \delta^3(p-k)\;a^+(k)|0\rangle$$

и действуйте производными $\frac{\partial}{\partial p_i}$ на дельта-функцию.

[Maximpg]

Значит так, с первым вопросом разобрался. По сути запутался в выводе квантованного поля Клейна-Гордона. Там надо помнить про Фурье анализ обобщенных функций. Когда-то разбирал это по Пескину и не стал особенно вникать в вывод формул для КГ. Теперь вот эта недопонятость вылезла. Небрежность и поверхностность, очевидно, серьезными дисциплинами не прощаются.

Второй вопрос тоже, думаю, исчерпан. Просто некоторая математическая вольность...

Задам теперь более, надеюсь, интересный вопрос:

Цитата:

the overlap of the ground states for two different values of the mass is zero for any field theory, in any number of dimensions and infinite volume. Show that the overlap is zero even in finite
volume if the number of space dimensions is two or greater. This is symptomatic
of a more general problem. The states of two field theories, containing the same
fields but with different parameters in the Lagrangian, do not live in the same
Hilbert space. The formulation of field theory in terms of Green functions and
functional integrals avoids this problem.

Задача 2.4
Утверждение мне показалось любопытным. В чем проблема-то? Ну разные параметры, и что? Всю дорогу, насколько помню, в стандартной КТП рассматриваются поля с одинаковыми массами.

[Munin]

Maximpg в сообщении #942544 писал(а):

Всю дорогу, насколько помню, в стандартной КТП рассматриваются поля с одинаковыми массами.

??? Это как это?

[Maximpg]

В смысле, поля и частицы с разными массами - независимые возмущения.

[Munin]

Пока не включено взаимодействие - с независимыми.

[Maximpg]

Тем не менее, о каком именно затруднении говорится в утверждении задачи?

[Maximpg]

Munin в сообщении #941285 писал(а):

Это сообщение для новичков. Можете его отключить в настройках форума.

Да, кстати, спасибо, отключил.

[type2b]

Смысл в том, что при вычислениях по теории возмущений мы можем захотеть приближать состояния взаимодействующей теории собственными состояниями другого (например, свободного) гамильтониана (вместо массы думайте о константе связи; волновые функции тогда тоже не будут перекрываться, как легко понять). Например, мы можем пытаться пертурбативно решать уравнение Липпмана-Швингера.

Задача 2.4 показывает, что с этим могут быть проблемы, т.к. состояния не только не близки, но даже ортогональны. Я не знаю, ломается ли что-нибудь из-за этого на практике. Хорошо бы знать какой-нибудь пример. Вайнберг вроде ничего про это не пишет, хотя он аккуратный человек. Бэнкс в главе 3 несколько раз упоминает эту задачу 2.4 и говорит, что лучше мы будем вычислять пертурбативно функции Грина, а из них по формуле LSZ будем находить амплитуды, и не будем думать о пертурбативных разложениях состояний. Это хороший подход, в принципе.

Кстати, у меня почему-то получается, что в конечном объеме произведение волновых функций равно нулю в пространстве $d\le 4$, а не $d\le 1$, как Бэнкс утверждает. Наверное, я ошибаюсь. А у Вас что получилось?

[Maximpg]

Стал проверять и обнаружил, что не очень понимаю, откуда может взяться этот ноль, когда у ground state в бесконечном объеме всюду вещественная и положительная волновая функция, гауссиана.

-- 10.12.2014, 11:12 --

И извините, что опять возвращаюсь к старому, но эквивалентность (3.4) и (3.5), мягко говоря, неочевидна. Возьмем $V(\phi)=(1/2)m^2\phi^2$, как для Клейна-Гордона. Тогда (3.4) выглядит как

$$ \partial^2\frac{\delta Z}{i \delta J(x)}=-\langle 0|T\;m^2\phi(x)\; e^{i \int d^4yJ(y)\phi(y)}|0\rangle=-m^2\frac{\delta Z}{i \delta J(x)}, $$

но ведь $m^2$ есть вторая производная потенциала, а не первая!