Сколько всего треугольников?

[Ktina]

Сколько можно составить треугольников из отрезков 2, 3, 4, 5, 6, 7?

После нуднейшего подсчёта вручную у меня получился 101 треугольник. Неужели я какую-то простую идею в упор не замечаю?

Пожалуйста, помогите решить.

[Александрович]

Проще посчитать сколько треугольников нельзя посроить и вычесть это из числа сочетаний.

[gris]

Я так понял, что отрезок можно использовать два и три раза?
То есть для одного отрезка $2$ ответом будет $(2,2,2)$.
Для отрезков $2,3$ ответ $(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(3,3,3)$
Но даже так сто один никак не получается Или треугольники различаются последовательностью сторон? Или сто один записано не в десятичной системе?
Что есть треугольник? $(2+3,4,7)$ — треугольник?

[Александрович]

А я понял что отрезков всего 6.

[gris]

Тогда сторону можно составлять из двух отрезков?
$(2+3,4,6),(2+3+4,6,7),(2+7,3+4,6+5)...$ тоже должны считаться?
$(2+3,6,7)$ и $(5,6,7)$ это один треугольник или два?

[Cash]

A002623

[Ktina]

gris в сообщении #942307 писал(а):

Я так понял, что отрезок можно использовать два и три раза?

А мне показалось, что только один раз. Например, 50-й по счёту треугольник у меня получился $(5, 5, 6)$, то есть $((2, 3), 5, 6)$

-- 08.12.2014, 11:43 --

Cash в сообщении #942328 писал(а):

A002623

Почему там нет числа 101? Где мой просчёт. Неужели 125?

[Cash]

Ну там, во-первых, есть еще отрезок длины 1,
а во-вторых условие трактуется по другому.
Количество троек $a \leqslant b \leqslant c$, $a+b>c$, где $a,b,c$- натуральные числа, не превосходящие $n$

-- Пн дек 08, 2014 14:29:09 --

Ваша трактовка тоже имеет право на жизнь, но трудно ожидать какого-то другого решения кроме полного перебора .

[Ktina]

Cash в сообщении #942401 писал(а):

Ваша трактовка тоже имеет право на жизнь, но трудно ожидать какого-то другого решения кроме полного перебора .

Но ответ-то 101? Может, программку написать?

[Cash]

Да, 101

(Результаты)

№ пр-я   № тр-ка   Треугольник   Отрезки
1   1   (2, 3, 4)   (2, 3, 4)
2   2   (2, 4, 5)   (2, 4, 5)
3   3   (2, 5, 6)   (2, 5, 6)
4   4   (2, 6, 7)   (2, 6, 3 + 4)
5   4   (2, 6, 7)   (2, 6, 7)
6   5   (2, 7, 7)   (2, 7, 3 + 4)
7   6   (2, 7, 8)   (2, 7, 3 + 5)
8   7   (2, 9, 9)   (2, 3 + 6, 4 + 5)
9   8   (2, 9, 10)   (2, 4 + 5, 3 + 7)
10   9   (2, 10, 10)   (2, 3 + 7, 4 + 6)
11   10   (2, 10, 11)   (2, 3 + 7, 5 + 6)
12   11   (2, 11, 11)   (2, 4 + 7, 5 + 6)
13   12   (2, 12, 13)   (2, 3 + 4 + 5, 6 + 7)
14   12   (2, 12, 13)   (2, 5 + 7, 3 + 4 + 6)
15   13   (3, 4, 5)   (3, 4, 5)
16   14   (3, 4, 6)   (3, 4, 6)
17   15   (3, 5, 6)   (3, 5, 2 + 4)
18   15   (3, 5, 6)   (3, 5, 6)
19   16   (3, 5, 7)   (3, 5, 7)
20   17   (3, 6, 6)   (3, 2 + 4, 6)
21   18   (3, 6, 7)   (3, 2 + 4, 7)
22   18   (3, 6, 7)   (3, 6, 2 + 5)
23   18   (3, 6, 7)   (3, 6, 7)
24   19   (3, 7, 7)   (3, 2 + 5, 7)
25   20   (3, 7, 8)   (3, 7, 2 + 6)
26   21   (3, 7, 9)   (3, 7, 4 + 5)
27   22   (3, 8, 9)   (3, 2 + 6, 4 + 5)
28   23   (3, 9, 9)   (3, 2 + 7, 4 + 5)
29   24   (3, 9, 10)   (3, 2 + 7, 4 + 6)
30   25   (3, 9, 11)   (3, 2 + 7, 5 + 6)
31   26   (3, 10, 12)   (3, 4 + 6, 5 + 7)
32   27   (3, 11, 11)   (3, 4 + 7, 5 + 6)
33   28   (3, 11, 13)   (3, 2 + 4 + 5, 6 + 7)
34   28   (3, 11, 13)   (3, 4 + 7, 2 + 5 + 6)
35   28   (3, 11, 13)   (3, 5 + 6, 2 + 4 + 7)
36   29   (3, 12, 12)   (3, 2 + 4 + 6, 5 + 7)
37   30   (4, 5, 5)   (4, 2 + 3, 5)
38   31   (4, 5, 6)   (4, 2 + 3, 6)
39   31   (4, 5, 6)   (4, 5, 6)
40   32   (4, 5, 7)   (4, 2 + 3, 7)
41   32   (4, 5, 7)   (4, 5, 7)
42   33   (4, 5, 8)   (4, 5, 2 + 6)
43   34   (4, 6, 7)   (4, 6, 2 + 5)
44   34   (4, 6, 7)   (4, 6, 7)
45   35   (4, 6, 8)   (4, 6, 3 + 5)
46   36   (4, 6, 9)   (4, 6, 2 + 7)
47   37   (4, 7, 7)   (4, 2 + 5, 7)
48   38   (4, 7, 8)   (4, 7, 2 + 6)
49   38   (4, 7, 8)   (4, 7, 3 + 5)
50   39   (4, 7, 9)   (4, 2 + 5, 3 + 6)
51   39   (4, 7, 9)   (4, 7, 3 + 6)
52   40   (4, 7, 10)   (4, 2 + 5, 3 + 7)
53   40   (4, 7, 10)   (4, 7, 2 + 3 + 5)
54   41   (4, 8, 8)   (4, 2 + 6, 3 + 5)
55   42   (4, 8, 9)   (4, 3 + 5, 2 + 7)
56   43   (4, 8, 10)   (4, 2 + 6, 3 + 7)
57   44   (4, 9, 9)   (4, 2 + 7, 3 + 6)
58   45   (4, 9, 11)   (4, 2 + 7, 5 + 6)
59   46   (4, 9, 12)   (4, 3 + 6, 5 + 7)
60   47   (4, 10, 11)   (4, 3 + 7, 5 + 6)
61   48   (4, 10, 13)   (4, 2 + 3 + 5, 6 + 7)
62   48   (4, 10, 13)   (4, 3 + 7, 2 + 5 + 6)
63   49   (4, 11, 12)   (4, 2 + 3 + 6, 5 + 7)
64   49   (4, 11, 12)   (4, 5 + 6, 2 + 3 + 7)
65   50   (5, 5, 6)   (2 + 3, 5, 6)
66   51   (5, 5, 7)   (2 + 3, 5, 7)
67   52   (5, 6, 6)   (5, 2 + 4, 6)
68   53   (5, 6, 7)   (2 + 3, 6, 7)
69   53   (5, 6, 7)   (5, 2 + 4, 7)
70   53   (5, 6, 7)   (5, 6, 3 + 4)
71   53   (5, 6, 7)   (5, 6, 7)
72   54   (5, 6, 9)   (2 + 3, 6, 4 + 5)
73   54   (5, 6, 9)   (5, 2 + 4, 3 + 6)
74   54   (5, 6, 9)   (5, 6, 2 + 3 + 4)
75   54   (5, 6, 9)   (5, 6, 2 + 7)
76   55   (5, 6, 10)   (5, 2 + 4, 3 + 7)
77   55   (5, 6, 10)   (5, 6, 3 + 7)
78   56   (5, 7, 7)   (5, 3 + 4, 7)
79   57   (5, 7, 8)   (5, 3 + 4, 2 + 6)
80   57   (5, 7, 8)   (5, 7, 2 + 6)
81   58   (5, 7, 9)   (2 + 3, 7, 4 + 5)
82   58   (5, 7, 9)   (5, 3 + 4, 2 + 7)
83   58   (5, 7, 9)   (5, 7, 2 + 3 + 4)
84   58   (5, 7, 9)   (5, 7, 3 + 6)
85   59   (5, 7, 10)   (2 + 3, 7, 4 + 6)
86   59   (5, 7, 10)   (5, 7, 4 + 6)
87   60   (5, 7, 11)   (2 + 3, 7, 5 + 6)
88   60   (5, 7, 11)   (5, 7, 2 + 3 + 6)
89   61   (5, 8, 10)   (5, 2 + 6, 3 + 7)
90   62   (5, 8, 11)   (5, 2 + 6, 4 + 7)
91   63   (5, 9, 9)   (5, 2 + 7, 3 + 6)
92   64   (5, 9, 10)   (5, 2 + 7, 4 + 6)
93   65   (5, 9, 11)   (5, 3 + 6, 4 + 7)
94   66   (5, 9, 13)   (2 + 3, 4 + 5, 6 + 7)
95   66   (5, 9, 13)   (5, 2 + 3 + 4, 6 + 7)
96   66   (5, 9, 13)   (5, 2 + 7, 3 + 4 + 6)
97   66   (5, 9, 13)   (5, 3 + 6, 2 + 4 + 7)
98   67   (5, 10, 10)   (5, 3 + 7, 4 + 6)
99   68   (5, 10, 12)   (2 + 3, 4 + 6, 5 + 7)
100   68   (5, 10, 12)   (5, 3 + 7, 2 + 4 + 6)
101   68   (5, 10, 12)   (5, 4 + 6, 2 + 3 + 7)
102   69   (5, 11, 11)   (2 + 3, 4 + 7, 5 + 6)
103   69   (5, 11, 11)   (5, 4 + 7, 2 + 3 + 6)
104   70   (6, 6, 7)   (2 + 4, 6, 7)
105   71   (6, 6, 8)   (2 + 4, 6, 3 + 5)
106   72   (6, 6, 10)   (2 + 4, 6, 3 + 7)
107   73   (6, 7, 7)   (6, 2 + 5, 3 + 4)
108   73   (6, 7, 7)   (6, 7, 2 + 5)
109   73   (6, 7, 7)   (6, 7, 3 + 4)
110   74   (6, 7, 8)   (2 + 4, 7, 3 + 5)
111   74   (6, 7, 8)   (6, 7, 3 + 5)
112   75   (6, 7, 9)   (2 + 4, 7, 3 + 6)
113   75   (6, 7, 9)   (6, 3 + 4, 2 + 7)
114   75   (6, 7, 9)   (6, 7, 2 + 3 + 4)
115   75   (6, 7, 9)   (6, 7, 4 + 5)
116   76   (6, 7, 10)   (6, 2 + 5, 3 + 7)
117   76   (6, 7, 10)   (6, 7, 2 + 3 + 5)
118   77   (6, 7, 11)   (2 + 4, 7, 5 + 6)
119   77   (6, 7, 11)   (6, 2 + 5, 4 + 7)
120   77   (6, 7, 11)   (6, 7, 2 + 4 + 5)
121   78   (6, 7, 12)   (6, 3 + 4, 5 + 7)
122   78   (6, 7, 12)   (6, 7, 3 + 4 + 5)
123   79   (6, 8, 9)   (6, 3 + 5, 2 + 7)
124   80   (6, 8, 11)   (6, 3 + 5, 4 + 7)
125   81   (6, 8, 13)   (2 + 4, 3 + 5, 6 + 7)
126   81   (6, 8, 13)   (6, 3 + 5, 2 + 4 + 7)
127   82   (6, 9, 9)   (6, 2 + 7, 4 + 5)
128   83   (6, 9, 10)   (6, 4 + 5, 3 + 7)
129   84   (6, 9, 12)   (2 + 4, 3 + 6, 5 + 7)
130   84   (6, 9, 12)   (6, 2 + 3 + 4, 5 + 7)
131   84   (6, 9, 12)   (6, 2 + 7, 3 + 4 + 5)
132   84   (6, 9, 12)   (6, 4 + 5, 2 + 3 + 7)
133   85   (6, 10, 11)   (2 + 4, 3 + 7, 5 + 6)
134   85   (6, 10, 11)   (6, 2 + 3 + 5, 4 + 7)
135   85   (6, 10, 11)   (6, 3 + 7, 2 + 4 + 5)
136   86   (7, 7, 7)   (2 + 5, 3 + 4, 7)
137   87   (7, 7, 8)   (3 + 4, 7, 2 + 6)
138   88   (7, 7, 9)   (2 + 5, 7, 3 + 6)
139   89   (7, 7, 10)   (2 + 5, 7, 4 + 6)
140   90   (7, 7, 11)   (3 + 4, 7, 5 + 6)
141   91   (7, 7, 13)   (2 + 5, 3 + 4, 6 + 7)
142   91   (7, 7, 13)   (7, 2 + 5, 3 + 4 + 6)
143   91   (7, 7, 13)   (7, 3 + 4, 2 + 5 + 6)
144   92   (7, 8, 8)   (7, 2 + 6, 3 + 5)
145   93   (7, 8, 9)   (7, 2 + 6, 4 + 5)
146   94   (7, 8, 10)   (7, 3 + 5, 4 + 6)
147   95   (7, 8, 12)   (3 + 4, 2 + 6, 5 + 7)
148   95   (7, 8, 12)   (7, 2 + 6, 3 + 4 + 5)
149   95   (7, 8, 12)   (7, 3 + 5, 2 + 4 + 6)
150   96   (7, 9, 9)   (7, 3 + 6, 4 + 5)
151   97   (7, 9, 11)   (2 + 5, 3 + 6, 4 + 7)
152   97   (7, 9, 11)   (3 + 4, 2 + 7, 5 + 6)
153   97   (7, 9, 11)   (7, 2 + 3 + 4, 5 + 6)
154   97   (7, 9, 11)   (7, 3 + 6, 2 + 4 + 5)
155   97   (7, 9, 11)   (7, 4 + 5, 2 + 3 + 6)
156   98   (7, 10, 10)   (2 + 5, 3 + 7, 4 + 6)
157   98   (7, 10, 10)   (7, 2 + 3 + 5, 4 + 6)
158   99   (8, 8, 11)   (2 + 6, 3 + 5, 4 + 7)
159   100   (8, 9, 10)   (2 + 6, 4 + 5, 3 + 7)
160   100   (8, 9, 10)   (3 + 5, 2 + 7, 4 + 6)
161   101   (9, 9, 9)   (2 + 7, 3 + 6, 4 + 5)

[Ktina]

Cash
Большое спасибо!