Формулы сокращённого умножения

[Qazed]

Здравствуйте, я вывел формулу для квадрата суммы $n$ слагаемых (вероятно правильно). Как её можно уменьшить/улучшить?

$$ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = \left( \sum_{j=1}^n a_j \right)^2 = \sum_{d=1}^n a_d^2 + 2 \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_i \cdot \sum_{k=i+1}^n a_k\right) \qquad (1)$$

Проверку правильности делал в Mathematica:

[Otta]

Что такое $d$ в правой части?

[Qazed]

Как раз поправил

[Otta]

Ну и нормально. Формула как формула. Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс всевозможные удвоенные произведения разных слагаемых.

[Qazed]

Меня смущают 3 нижних индекса справа. Можно-ли сделать меньше?

[Otta]

Qazed в сообщении #941816 писал(а):

Меня смущают 3 нижних индекса справа. Можно-ли сделать меньше?

Можно. На один. Вы не обязаны в первой сумме заводить индивидуальный индекс. Напишите $k$. Вообще, вариантов записи много можно придумать, это несущественно все.

[Qazed]

Спасибо. Я вывел ещё несколько формул. Проверьте, пожалуйста, правильность.

$$ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = \left( \sum_{j=1}^n a_j \right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2 + 2 \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_i \cdot \sum_{k=i+1}^n a_k\right) \qquad (1)$$

$$ a^n - b^n = (a - b) \cdot \sum_{k=1}^{n} a^{n-k} b^{k-1} \qquad (2)$$

$$ a^n - 1 = (a-1) \cdot \sum_{k=1}^n a^{n-k} \qquad (3)$$

$$ a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a^{2n-k} b^k \qquad (4)$$

$$ a^{2n} - b^{2n} = (a+b) \cdot \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1}a^{2n-k} b^{k-1} \qquad (5)$$

[gris]

А в четвёртой всё в порядке?

[provincialka]

Хорошо, что вы думаете об этом. Но вообще-то это варианты формулы суммы геометрической прогрессии.

[Nurzery[Rhymes]]

(Оффтоп)

А зачем выводить, если есть полиномиальная формула?

[Qazed]

gris в сообщении #941863 писал(а):

А в четвёртой всё в порядке?

Нет. Там знак не тот.

$$ a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b) \cdot \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a^{2n-k} b^k \qquad (4) $$

Всем большое спасибо

[arseniiv]

Вот вы поупражняетесь в правильном определении индексов, а потом пишите всё-таки $1 - a^n = (1 - a)(1 + a + \ldots + a^{n-1})$.

[Qazed]

В этом случае соглашусь, так проще

[Munin]

Попробуйте вывести формулу для $(a_1+a_2+\ldots+a_n)^k.$ Предупреждение: придётся почитать, что такое биномиальные коэффициенты.

[arseniiv]

Лучше уж сразу мультиномиальные. Хотя связи их с биномиальными стоит быть ясной.