2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 15:35 
Аватара пользователя
Здравствуйте, я вывел формулу для квадрата суммы $n$ слагаемых (вероятно правильно). Как её можно уменьшить/улучшить?
$$ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = \left( \sum_{j=1}^n a_j \right)^2 = \sum_{d=1}^n a_d^2 + 2 \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_i \cdot \sum_{k=i+1}^n a_k\right) \qquad (1)$$
Проверку правильности делал в Mathematica:

Изображение

Изображение

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 15:38 
Что такое $d$ в правой части?

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 15:39 
Аватара пользователя
Как раз поправил

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 15:42 
Ну и нормально. Формула как формула. Квадрат суммы равен сумме квадратов плюс всевозможные удвоенные произведения разных слагаемых.

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 15:44 
Аватара пользователя
Меня смущают 3 нижних индекса справа. Можно-ли сделать меньше?

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 15:51 
Qazed в сообщении #941816 писал(а):
Меня смущают 3 нижних индекса справа. Можно-ли сделать меньше?

Можно. На один. Вы не обязаны в первой сумме заводить индивидуальный индекс. Напишите $k$. Вообще, вариантов записи много можно придумать, это несущественно все.

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 16:33 
Аватара пользователя
Спасибо. Я вывел ещё несколько формул. Проверьте, пожалуйста, правильность.

$$ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 = \left( \sum_{j=1}^n a_j \right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2 + 2 \sum_{i=1}^{n-1}\left(a_i \cdot \sum_{k=i+1}^n a_k\right) \qquad (1)$$
$$ a^n - b^n =  (a - b) \cdot \sum_{k=1}^{n} a^{n-k} b^{k-1} \qquad (2)$$
$$ a^n - 1 = (a-1) \cdot \sum_{k=1}^n a^{n-k} \qquad (3)$$
$$ a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a-b) \cdot \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a^{2n-k} b^k \qquad (4)$$
$$ a^{2n} - b^{2n} = (a+b) \cdot \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1}a^{2n-k} b^{k-1} \qquad (5)$$

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 17:19 
Аватара пользователя
А в четвёртой всё в порядке?

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 17:23 
Аватара пользователя
Хорошо, что вы думаете об этом. Но вообще-то это варианты формулы суммы геометрической прогрессии.

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 18:08 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

А зачем выводить, если есть полиномиальная формула?

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 19:21 
Аватара пользователя
gris в сообщении #941863 писал(а):
А в четвёртой всё в порядке?

Нет. Там знак не тот.
$$ a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a+b) \cdot \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k a^{2n-k} b^k \qquad (4) $$
Всем большое спасибо

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 19:32 
Вот вы поупражняетесь в правильном определении индексов, а потом пишите всё-таки $1 - a^n = (1 - a)(1 + a + \ldots + a^{n-1})$. :-)

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 19:41 
Аватара пользователя
В этом случае соглашусь, так проще

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение07.12.2014, 22:46 
Аватара пользователя
Попробуйте вывести формулу для $(a_1+a_2+\ldots+a_n)^k.$ Предупреждение: придётся почитать, что такое биномиальные коэффициенты.

 
 
 
 Re: Формулы сокращённого умножения
Сообщение08.12.2014, 00:05 
Лучше уж сразу мультиномиальные. Хотя связи их с биномиальными стоит быть ясной.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group