Вопрос о производной четырехмерного потенциала

[poiuytr]

Очень доходчиво объяснили, спасибо! Вопросов нет. Но пока разбирался появилось соображение – ремейк. При разъяснении вопроса о производных 4-потенциала ${A_µ}$ выше было сказано о произвольности выбора вида тензора (ковариантного, контравариантного или смешанного) и отсутствии смысла в выделении какого либо преимущественного (базового) вида тензора, поскольку все они связаны друг с другом через метрический тензор. Поскольку я всегда ищу точку опоры, то усмотрел путь, исключающий произвол выбора. Возможно, он формален и в нем мало практического смысла, но при желании, он определяет четкий приоритет в рассматриваемых тензорах.
Рассмотрим контравариантный 4-вектор ${A^µ}{(A^0,A^i)}$ . Вид 4-вектора (контравариантный или ковариантный) определяют его пространственные компоненты ${A^i}$ . Вектор ${A^i}$ можно записать в виде ЛЛ-2 с.123 ${A^i}={\dfrac{\varphi V^i}{c}}={\dfrac{\varphi V^i}{c}{\dfrac{dr^i}{dt}}}$ (индексы я проставил). Из этой записи следует, что контравариантность вектора ${A^i}$ определяет вид вектора скорости ${V^i}$ вид которого, в свою очередь, определяет контравариантный радиус-вектор ${r^i}$ или ${x^i}$. Т.е. здесь однозначно определен базис этого вектора, как контравариантный.
Аналогичную запись можно сделать и для 4-ковектора ${A_µ}$ его пространственная часть ${A_i}={\dfrac{\varphi V_i}{c}}={\dfrac{\varphi V_i}{c}{\dfrac{dr_i}{dt}}}$. Здесь базис однозначно определен, как ковариантный ${x_i}$.
При нахождении производных 4-векторов ${A^µ}$ и ${A_µ}$ , для упрощения, будем рассматривать только их пространственные части ${A^i}$ и ${A_i}$, приращение вектора ${\Delta A^i}$ или его дифференциал ${\partial A^i}$ определяется приращением контравариантного вектора ${\Delta r^k}$ или ${\Delta x^k}$ или контравариантным дифференциалом ${\partial x^k}$ Следовательно производную вектора ${A^i}$ следует записать в виде ${\partial_kA^i}={\dfrac{\partial A^i}{\partial x^k}}$. Тогда для четырехмерной производной имеем ${\partial_\eta A^µ}={\dfrac{\partial A^µ}{\partial x^\eta}}={F_\eta^µ}$
Аналогично можно записать и для 4-ковектора ${A_µ}{(A_0,A_i)}$. Производную его пространственной части ${A_i}={\dfrac{\varphi V_i}{c}}={\dfrac{\varphi V_i}{c}}{\dfrac{dr_i}{dt}}$ нужно записать в виде ${\partial^k A_i}={\dfrac{\partial A_i }{\partial x_k }}$. а для четырехмерной производной получим ${\partial^\eta A_µ}={\dfrac{\partial A_µ }{\partial x_\eta }}={F^\eta_µ}$
Таким образом, в контравариантном базисе естественным (базовым) видом производной будет смешанный тензор ${F_\eta^µ}={\partial _\eta A^µ}={\dfrac{\partial A^µ }{\partial x^\eta}}$, а для ковариантного базиса естественным (базовым) будет тензор ${F^\eta_µ}={\partial ^\eta A_µ}={\dfrac{\partial A_µ }{\partial x_\eta }}$
Остается вопрос о произвольности выбора базиса. Является ли какой либо базис преимущественным? На мой взгляд, поскольку геометрию псевдоевклидова пространства СТО определяет метрический тензор с сигнатурой $(+,-,-,-)$, то естественным базисом для такого пространства нужно считать ковариантный базис ${x_µ}{(x_0,-x_1,-x_2,-x_3)}$, как отвечающий этой сигнатуре. Тогда базовым тензором для псевдоевклидова пространства СТО нужно считать только смешанный тензор. ${F^\eta_µ}={\partial^\eta A_µ}={\dfrac{\partial A_µ}{\partial x_\eta}}$ и из него уже получать три остальные вида тензоров, используя метрический тензор.

[Munin]

Я думаю, все проблемы от того, что вы впервые столкнулись с ковариантностью и контравариантностью, когда начали читать СТО.

Предлагаю простое упражнение. Возьмём евклидову координатную плоскость $x,y,$ точки = векторы на ней - пары чисел $\mathbf{r}=[x,y]$ (в квадратных скобках, поскольку эти числа не относятся ни к какому базису). Введём базис $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ (пара векторов), и запишем произвольный вектор в виде $\mathbf{r}=\mathbf{e}_1 r^1+\mathbf{e}_2 r^2.$ Назовём пару $(r^1,r^2)$ контравариантными компонентами вектора $\mathbf{r}.$ Дальше, введём базис $(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2)$ (тоже пара векторов), определяемый условиями $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$ (евклидово скалярное произведение) (Update: исправлена опечатка). (Покажите, что векторы $\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2$ задаются этим условием однозначно.) Теперь для каждого вектора можно также ввести и разложение $\mathbf{r}=\mathbf{e}^1 r_1+\mathbf{e}^2 r_2,$ и назвать $(r_1,r_2)$ ковариантными компонентами вектора $\mathbf{r}.$

Пример. Пусть $\mathbf{e}_1=[2,0],\mathbf{e}_2=[1,1],$ найдите контравариантные компоненты нескольких векторов с небольшими целочисленными $x,y.$ Найдите соответствующие $\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,$ и ковариантные компоненты тех же самых векторов. Попробуйте некоторые другие варианты базисов $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2),$ главное, чтобы векторы в базисе были линейно независимыми. Удобно всё это рисовать на клетчатой бумаге.

После практики с примером, докажите $\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=r_i s^i=r^i s_i.$ Найдите: такую матрицу $A,$ что $r_i=A r^j$; такую матрицу $B,$ что $r^i=B r_j$; такую матрицу $C,$ что $\mathbf{r}^2=r_i r^i=r^i C r^j$; такую матрицу $D,$ что $\mathbf{r}^2=r_i r^i=r_i D r_j$; проверьте (или докажите), что $\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=r^i C s^j=r_i D s_j.$

Представим себе, что на нашей плоскости задана линейная однородная функция $f(\mathbf{r})\in\mathbf{R}.$ Поскольку она линейная однородная, то её можно записать как $f(\mathbf{r})=\alpha x+\beta y.$ Покажите, что её можно записать как $f(\mathbf{r})=f_i r^i.$ Покажите, что при переходе от базиса $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ к какому-нибудь новому базису $(\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2)$ величины $f_i$ преобразуются в $f'_i$ как ковариантные компоненты какого-то вектора.

Надеюсь, это всё даст "почувствовать" лучше смысл понятий.

[Alex_J]

Munin в сообщении #920058 писал(а):

в квадратных скобках, поскольку эти числа не относятся ни к какому базису

Такого не бывает. Либо базис есть по умолчанию.

Munin в сообщении #920058 писал(а):

определяемый условиями $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^i=\delta_i^i$

Может, $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$? Т.к. $\delta_i^i\equiv 1$, либо речь не о символе Кронекера.
Или, если это не опечатка и условия именно таковы, а $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j$, $i\neq j$, могут быть любыми, то выбор $\mathbf{e}^1$ и $\mathbf{e}^1$ весьма произволен, ну хотя бы $\mathbf{e}^i=\frac{\mathbf{e}_i}{e_i^2}$. И далее можно показать, что почти любая линейная комбинация таких векторов может быть выбрана, только чтобы $(\mathbf{e}_1 \mathbf{e}^2)(\mathbf{e}_2 \mathbf{e}^1)\neq 1$.

(Оффтоп)

Это я всё к чему. Munin, хотелось бы на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

[Munin]

Alex_J в сообщении #940889 писал(а):

Такого не бывает. Либо базис есть по умолчанию.

Можно, конечно, называть $([1,0],[0,1])$ базисом по умолчанию. Но если вы собираетесь говорить о ещё каких-то базисах, то этот будет под ногами путаться. Проще сказать, что базис не фиксирован.

Alex_J в сообщении #940889 писал(а):

Munin, хотелось бы на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

Это мне надо тему перечитать.

[Alex_J]

Munin в сообщении #940957 писал(а):

Это мне надо тему перечитать.

Вы привели пример, отстранённый от темы, чисто математический. Вопрос в предложенном Вами способе выбора ковариантных векторов. И конкретно, в одном-единственном индексе. Далее, конечно, будет вопрос, почему именно так выбираются ковариантные векторы.

[Munin]

Alex_J в сообщении #940889 писал(а):

Может, $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$? Т.к. $\delta_i^i\equiv 1$, либо речь не о символе Кронекера.

Да, верно, это опечатка. Исправляю.

[Munin]

Alex_J в сообщении #940889 писал(а):

Munin, хотелось бы на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

Тут ситуация вкратце такая.

Есть пространства без скалярного произведения, и со скалярным произведением. Пространство без скалярного произведения можно превратить в пространство со скалярным произведением, задав его, но сделать это можно не единственным способом. Например (в некотором базисе) можно заявить, что $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2,$ а можно - что $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=5a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+a_2b_2,$ например (главное, чтобы коэффициенты были симметрическими, и определитель больше нуля - впрочем, это не всегда обязательно). Такие пространства будут геометрически различными: например, модуль некоторого вектора, вычисляемый как $\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\,},$ окажется разным по величине. Некоторые треугольники будут равными при задании одного скалярного произведения, и не равными - при другом. И т. д.

Так вот. В пространствах без скалярного произведения - ковариантые векторы вообще не являются векторами этого пространства. (Они являются векторами в абстрактном смысле, но лежат в другом пространстве - сопряжённом, dual.) И слово "ковариантный вектор" в таком случае не очень хорошее, более принято (хотя больше среди математиков) называть эти объекты ковекторами. Итак, векторы и ковекторы - разные вещи. У них разные пространства, у них разные базисы - у каждого свой. Их обозначают по-разному. Единственное, что их связывает - это операция произведения ковектора на вектор $\boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf{a}.$ Других произведений (вектора на вектор, ковектора на ковектор) взять нельзя. Графически изображать ковекторы как векторы (отрезком со стрелочкой) тоже нельзя. Самый лучший известный мне способ изображения ковекторов - это "линии уровня", которые перпендикулярны направлению ковектора.

А в пространствах со скалярным произведением - оказывается, что можно построить канонический изоморфизм между векторами и ковекторами. А раз есть изоморфизм, да ещё канонический, то нет вообще особого смысла различать между собой эти объекты. Каждый вектор легко выступает как ковектор (может быть превращён в ковектор), а каждый ковектор - как вектор. По сути, мы можем говорить только о векторах, и об их двоякой роли. И в этом случае, не говорят про контравариантные и ковариантые векторы - а говорят про векторы вообще, и про их контравариантые и ковариантные компоненты (координаты), то есть, про координаты в контравариантном (векторном) и ковариантном (ковекторном) базисе.

[Alex_J]

Munin

Проще и понятнее было бы такое объяснение.

Пусть есть "исходное полотно" со множеством векторов (бумага со стрелочками). И наложенная на бумагу плёнка с двумя - базисными - векторами и ещё одним множеством векторов.

Так вот, преобразование базиса - сжатие-растяжение и поворот плёнки - приводит к тому, что с т.з. плёнки векторы на бумаге поменялись в "обратную" сторону и требуют пересчёта через обратную (контр-) матрицу. А с т.з. бумаги, векторы плёнки остались "вморожены" в плёнку и повернулись-растянулись вместе с ней, и пересчёт нужно делать в прямом направлении (ко-). Причём, пересчёт как бы в старом базисе.

Но для плёнки ко- и контравариантность меняются местами. Для неё это бумага претерпела преобразование (обратное, естественно).

-- 06.12.2014, 04:53 --

И далее. Вектор контравариантный, на бумаге, это "сущность без цифр, а цифры видны только в базисе на плёнке". Вектор ковариантный же - это "инструмент измерения" для векторов, чтобы переводить их "сущность" в цифры (и контравариантные как "сущности" не меняются при смене базиса), он нанесён на плёнке и, как и базисные векторы, меняется вместе с ними по единому правилу, чтобы результаты измерений любыми инструментами (ковариантными векторами-линейными функционалами) изменились одинаково.

-- 06.12.2014, 05:01 --

И ещё. В аналогии бумаги и плёнки один и тот же вектор автоматически имеет координаты как в исходном "бумажном" базисе (контравариантные), так и в "плёночном" (ковариантные компоненты).

[Munin]

Alex_J в сообщении #941045 писал(а):

Проще и понятнее было бы такое объяснение.
...
Но для плёнки ко- и контравариантность меняются местами. Для неё это бумага претерпела преобразование (обратное, естественно).

Проще и понятнее, но невернее. Это другая вещь: активные и пассивные преобразования.

Alex_J в сообщении #941045 писал(а):

И далее. Вектор контравариантный, на бумаге, это "сущность без цифр, а цифры видны только в базисе на плёнке".

Это верно. А дальше - опять нет. Ковектор - тоже на бумаге, и "сущность без цифр". Вот только это не вектор.

[amon]

Alex_J в сообщении #941041 писал(а):

на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

Предлагаю такой пример. На обычной плоскости с обычным скалярным произведением (проекция одного вектора на второй) задан неортогональный базис $\{\mathbf{e^1,e^2}\}$. С одной стороны, любой вектор раскладывается по такому базису: $\mathbf{x}=x_1\mathbf{e^1}+x_2\mathbf{e^2}$, с другой, $x_1\ne (\mathbf{x},\mathbf{e^1})$, поэтому все считать плохо и неудобно. Поэтому введем биортогональный (контравариантный) базис $\{\mathbf{e_1,e_2}\}$, такой что $(\mathbf{e_i},\mathbf{e^k})=\delta_{ik}$. Сразу наступает счастье, поскольку оказывается, что $x_i= (\mathbf{x},\mathbf{e_i})$. Любой вектор можно разложить и по этому, новому базису: $\mathbf{x}=x^1\mathbf{e_1}+x^2\mathbf{e_2}$. Очевидно, что $x_i\ne x^i$, и все свойства ко и контрвариантных векторов в этом простом примере присутствуют. Так, $(\mathbf{x},\mathbf{y})=x^1y_1+x^2y_2$.

[Munin]

(amon)

А почему у вас индексы болдом? :-)

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #941586 писал(а):

А почему у вас индексы болдом?

Ленив от природы.

[Red_Herring]

Ну и еще пример более сложный, но в нем выбрать базис$\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2\}$ ортогонормированным может быть и невозможно.

Рассматривается (для простоты, в размерности 2) оператор Шрёдингера $H=-\Delta +V(\mathbf{x})$, в $\mathbb{R}^2$ где $V(\mathbf{x})$ периодична. А что это значит? Существует решётка периодов $\Gamma =\{ n_1\mathbf{e}^1+n_2\mathbf{e}^2: (n_1,n_2)\in \mathbb{Z}^2\}$ (тогда векторы $\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2$ выбираются не совсем однозначно, но их выбрать ортонормированными не всегда возможно: например решётка гексагональная). Нас интересует спектр этого оператора.

Тогда имеет смысл рассмотреть оператор $H(\mathbf{k})$ на элементарной ячейке $E=\{ x_1\mathbf{e}^1+x_2\mathbf{e}^2: (x_1,x_2)\in [0,1]^2\}$, $H(\mathbb{k})=-\Delta +V(\mathbf{x})$, но задан он на пространстве функция $\mathsf{H}(\mathbf{k})$, имеющий вид $u= e^{i(\mathbf{k})\cdot (\mathbf{x})}v(\mathbf{x})$ с периодическими $v$. Здесь квазиимульс $\mathbf{k}$ пробегает двойственную ячейку $E'=\{ k_1\mathbf{e}_1+k_2\mathbf{e}_2: (x_1,x_2)\in [0,2\pi]^2\}$, где $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ биортогональный базис.

Ответ: $H(\mathbf{k})$ имеет дискретный спектр, а вот исходный оператор имеет (как правило) непрерывный спектр который будет объединением спектров $H(\mathbf{k})$.

-- 07.12.2014, 00:26 --

(Оффтоп)

Случайно напечатал \mathbb{k} и другие строчные буквы и цифры и получил интересные символы

[Munin]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #941615 писал(а):

Случайно напечатал \mathbb{k} и другие строчные буквы и цифры и получил интересные символы

В шрифте mathbb нет строчных букв, но видимо, команда этого не замечает, а просто подбирает из кодовой таблицы шрифта что попало - вот и получаются "интересные символы".

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #941656 писал(а):

В шрифте mathbb нет строчных букв, но видимо, команда этого не замечает, а просто подбирает из кодовой таблицы шрифта что попало - вот и получаются "интересные символы".

Это известно, хотя и не совсем правильно: при загрузке одного из пакетов bbold, mathbbol, mbboard команда \mathbb выдает правильные строчные буквы и цифры. И вообще, \mathbb — команда, а не название шрифта (AMSb—при загрузке amsfonts)