Очень доходчиво объяснили, спасибо! Вопросов нет. Но пока разбирался появилось соображение – ремейк. При разъяснении вопроса о производных 4-потенциала
выше было сказано о произвольности выбора вида тензора (ковариантного, контравариантного или смешанного) и отсутствии смысла в выделении какого либо преимущественного (базового) вида тензора, поскольку все они связаны друг с другом через метрический тензор. Поскольку я всегда ищу точку опоры, то усмотрел путь, исключающий произвол выбора. Возможно, он формален и в нем мало практического смысла, но при желании, он определяет четкий приоритет в рассматриваемых тензорах.
Рассмотрим контравариантный 4-вектор
. Вид 4-вектора (контравариантный или ковариантный) определяют его пространственные компоненты
. Вектор
можно записать в виде ЛЛ-2 с.123
(индексы я проставил). Из этой записи следует, что контравариантность вектора
определяет вид вектора скорости
вид которого, в свою очередь, определяет контравариантный радиус-вектор
или
. Т.е. здесь однозначно определен базис этого вектора, как контравариантный.
Аналогичную запись можно сделать и для 4-ковектора
его пространственная часть
. Здесь базис однозначно определен, как ковариантный
.
При нахождении производных 4-векторов
и
, для упрощения, будем рассматривать только их пространственные части
и
, приращение вектора
или его дифференциал
определяется приращением контравариантного вектора
или
или контравариантным дифференциалом
Следовательно производную вектора
следует записать в виде
. Тогда для четырехмерной производной имеем
Аналогично можно записать и для 4-ковектора
. Производную его пространственной части
нужно записать в виде
. а для четырехмерной производной получим
Таким образом, в контравариантном базисе естественным (базовым) видом производной будет смешанный тензор
, а для ковариантного базиса естественным (базовым) будет тензор
Остается вопрос о произвольности выбора базиса. Является ли какой либо базис преимущественным? На мой взгляд, поскольку геометрию псевдоевклидова пространства СТО определяет метрический тензор с сигнатурой
, то естественным базисом для такого пространства нужно считать ковариантный базис
, как отвечающий этой сигнатуре. Тогда базовым тензором для псевдоевклидова пространства СТО нужно считать только смешанный тензор.
и из него уже получать три остальные вида тензоров, используя метрический тензор.