2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение17.10.2014, 22:00 


12/10/14
36
Очень доходчиво объяснили, спасибо! Вопросов нет. Но пока разбирался появилось соображение – ремейк. При разъяснении вопроса о производных 4-потенциала ${A_µ}$ выше было сказано о произвольности выбора вида тензора (ковариантного, контравариантного или смешанного) и отсутствии смысла в выделении какого либо преимущественного (базового) вида тензора, поскольку все они связаны друг с другом через метрический тензор. Поскольку я всегда ищу точку опоры, то усмотрел путь, исключающий произвол выбора. Возможно, он формален и в нем мало практического смысла, но при желании, он определяет четкий приоритет в рассматриваемых тензорах.
Рассмотрим контравариантный 4-вектор ${A^µ}{(A^0,A^i)}$ . Вид 4-вектора (контравариантный или ковариантный) определяют его пространственные компоненты ${A^i}$ . Вектор ${A^i}$ можно записать в виде ЛЛ-2 с.123 ${A^i}={\dfrac{\varphi V^i}{c}}={\dfrac{\varphi V^i}{c}{\dfrac{dr^i}{dt}}}$ (индексы я проставил). Из этой записи следует, что контравариантность вектора ${A^i}$ определяет вид вектора скорости ${V^i}$ вид которого, в свою очередь, определяет контравариантный радиус-вектор ${r^i}$ или ${x^i}$. Т.е. здесь однозначно определен базис этого вектора, как контравариантный.
Аналогичную запись можно сделать и для 4-ковектора ${A_µ}$ его пространственная часть ${A_i}={\dfrac{\varphi V_i}{c}}={\dfrac{\varphi V_i}{c}{\dfrac{dr_i}{dt}}}$. Здесь базис однозначно определен, как ковариантный ${x_i}$.
При нахождении производных 4-векторов ${A^µ}$ и ${A_µ}$ , для упрощения, будем рассматривать только их пространственные части ${A^i}$ и ${A_i}$, приращение вектора ${\Delta A^i}$ или его дифференциал ${\partial A^i}$ определяется приращением контравариантного вектора ${\Delta r^k}$ или ${\Delta x^k}$ или контравариантным дифференциалом ${\partial x^k}$ Следовательно производную вектора ${A^i}$ следует записать в виде ${\partial_kA^i}={\dfrac{\partial A^i}{\partial x^k}}$. Тогда для четырехмерной производной имеем ${\partial_\eta A^µ}={\dfrac{\partial A^µ}{\partial x^\eta}}={F_\eta^µ}$
Аналогично можно записать и для 4-ковектора ${A_µ}{(A_0,A_i)}$. Производную его пространственной части ${A_i}={\dfrac{\varphi V_i}{c}}={\dfrac{\varphi V_i}{c}}{\dfrac{dr_i}{dt}}$ нужно записать в виде ${\partial^k A_i}={\dfrac{\partial  A_i }{\partial x_k }}$. а для четырехмерной производной получим ${\partial^\eta A_µ}={\dfrac{\partial  A_µ }{\partial x_\eta }}={F^\eta_µ}$
Таким образом, в контравариантном базисе естественным (базовым) видом производной будет смешанный тензор ${F_\eta^µ}={\partial _\eta A^µ}={\dfrac{\partial A^µ }{\partial x^\eta}}$, а для ковариантного базиса естественным (базовым) будет тензор ${F^\eta_µ}={\partial ^\eta A_µ}={\dfrac{\partial A_µ }{\partial x_\eta }}$
Остается вопрос о произвольности выбора базиса. Является ли какой либо базис преимущественным? На мой взгляд, поскольку геометрию псевдоевклидова пространства СТО определяет метрический тензор с сигнатурой $(+,-,-,-)$, то естественным базисом для такого пространства нужно считать ковариантный базис ${x_µ}{(x_0,-x_1,-x_2,-x_3)}$, как отвечающий этой сигнатуре. Тогда базовым тензором для псевдоевклидова пространства СТО нужно считать только смешанный тензор. ${F^\eta_µ}={\partial^\eta A_µ}={\dfrac{\partial A_µ}{\partial x_\eta}}$ и из него уже получать три остальные вида тензоров, используя метрический тензор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение18.10.2014, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я думаю, все проблемы от того, что вы впервые столкнулись с ковариантностью и контравариантностью, когда начали читать СТО.

Предлагаю простое упражнение. Возьмём евклидову координатную плоскость $x,y,$ точки = векторы на ней - пары чисел $\mathbf{r}=[x,y]$ (в квадратных скобках, поскольку эти числа не относятся ни к какому базису). Введём базис $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ (пара векторов), и запишем произвольный вектор в виде $\mathbf{r}=\mathbf{e}_1 r^1+\mathbf{e}_2 r^2.$ Назовём пару $(r^1,r^2)$ контравариантными компонентами вектора $\mathbf{r}.$ Дальше, введём базис $(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2)$ (тоже пара векторов), определяемый условиями $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$ (евклидово скалярное произведение) (Update: исправлена опечатка). (Покажите, что векторы $\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2$ задаются этим условием однозначно.) Теперь для каждого вектора можно также ввести и разложение $\mathbf{r}=\mathbf{e}^1 r_1+\mathbf{e}^2 r_2,$ и назвать $(r_1,r_2)$ ковариантными компонентами вектора $\mathbf{r}.$

Пример. Пусть $\mathbf{e}_1=[2,0],\mathbf{e}_2=[1,1],$ найдите контравариантные компоненты нескольких векторов с небольшими целочисленными $x,y.$ Найдите соответствующие $\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2,$ и ковариантные компоненты тех же самых векторов. Попробуйте некоторые другие варианты базисов $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2),$ главное, чтобы векторы в базисе были линейно независимыми. Удобно всё это рисовать на клетчатой бумаге.

После практики с примером, докажите $\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=r_i s^i=r^i s_i.$ Найдите: такую матрицу $A,$ что $r_i=A r^j$; такую матрицу $B,$ что $r^i=B r_j$; такую матрицу $C,$ что $\mathbf{r}^2=r_i r^i=r^i C r^j$; такую матрицу $D,$ что $\mathbf{r}^2=r_i r^i=r_i D r_j$; проверьте (или докажите), что $\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=r^i C s^j=r_i D s_j.$

Представим себе, что на нашей плоскости задана линейная однородная функция $f(\mathbf{r})\in\mathbf{R}.$ Поскольку она линейная однородная, то её можно записать как $f(\mathbf{r})=\alpha x+\beta y.$ Покажите, что её можно записать как $f(\mathbf{r})=f_i r^i.$ Покажите, что при переходе от базиса $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ к какому-нибудь новому базису $(\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2)$ величины $f_i$ преобразуются в $f'_i$ как ковариантные компоненты какого-то вектора.

Надеюсь, это всё даст "почувствовать" лучше смысл понятий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение05.12.2014, 21:48 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Munin в сообщении #920058 писал(а):
в квадратных скобках, поскольку эти числа не относятся ни к какому базису

Такого не бывает. Либо базис есть по умолчанию.

Munin в сообщении #920058 писал(а):
определяемый условиями $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^i=\delta_i^i$

Может, $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$? Т.к. $\delta_i^i\equiv 1$, либо речь не о символе Кронекера.
Или, если это не опечатка и условия именно таковы, а $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j$, $i\neq j$, могут быть любыми, то выбор $\mathbf{e}^1$ и $\mathbf{e}^1$ весьма произволен, ну хотя бы $\mathbf{e}^i=\frac{\mathbf{e}_i}{e_i^2}$. И далее можно показать, что почти любая линейная комбинация таких векторов может быть выбрана, только чтобы $(\mathbf{e}_1 \mathbf{e}^2)(\mathbf{e}_2 \mathbf{e}^1)\neq 1$.

(Оффтоп)

Это я всё к чему. Munin, хотелось бы на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение05.12.2014, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex_J в сообщении #940889 писал(а):
Такого не бывает. Либо базис есть по умолчанию.

Можно, конечно, называть $([1,0],[0,1])$ базисом по умолчанию. Но если вы собираетесь говорить о ещё каких-то базисах, то этот будет под ногами путаться. Проще сказать, что базис не фиксирован.

Alex_J в сообщении #940889 писал(а):
Munin, хотелось бы на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

Это мне надо тему перечитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение06.12.2014, 00:35 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Munin в сообщении #940957 писал(а):
Это мне надо тему перечитать.


Вы привели пример, отстранённый от темы, чисто математический. Вопрос в предложенном Вами способе выбора ковариантных векторов. И конкретно, в одном-единственном индексе. Далее, конечно, будет вопрос, почему именно так выбираются ковариантные векторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение06.12.2014, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex_J в сообщении #940889 писал(а):
Может, $\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}^j=\delta_i^j$? Т.к. $\delta_i^i\equiv 1$, либо речь не о символе Кронекера.

Да, верно, это опечатка. Исправляю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение06.12.2014, 02:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex_J в сообщении #940889 писал(а):
Munin, хотелось бы на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.

Тут ситуация вкратце такая.

Есть пространства без скалярного произведения, и со скалярным произведением. Пространство без скалярного произведения можно превратить в пространство со скалярным произведением, задав его, но сделать это можно не единственным способом. Например (в некотором базисе) можно заявить, что $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2,$ а можно - что $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=5a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+a_2b_2,$ например (главное, чтобы коэффициенты были симметрическими, и определитель больше нуля - впрочем, это не всегда обязательно). Такие пространства будут геометрически различными: например, модуль некоторого вектора, вычисляемый как $\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\,},$ окажется разным по величине. Некоторые треугольники будут равными при задании одного скалярного произведения, и не равными - при другом. И т. д.

Так вот. В пространствах без скалярного произведения - ковариантые векторы вообще не являются векторами этого пространства. (Они являются векторами в абстрактном смысле, но лежат в другом пространстве - сопряжённом, dual.) И слово "ковариантный вектор" в таком случае не очень хорошее, более принято (хотя больше среди математиков) называть эти объекты ковекторами. Итак, векторы и ковекторы - разные вещи. У них разные пространства, у них разные базисы - у каждого свой. Их обозначают по-разному. Единственное, что их связывает - это операция произведения ковектора на вектор $\boldsymbol{\alpha}\cdot\mathbf{a}.$ Других произведений (вектора на вектор, ковектора на ковектор) взять нельзя. Графически изображать ковекторы как векторы (отрезком со стрелочкой) тоже нельзя. Самый лучший известный мне способ изображения ковекторов - это "линии уровня", которые перпендикулярны направлению ковектора.

А в пространствах со скалярным произведением - оказывается, что можно построить канонический изоморфизм между векторами и ковекторами. А раз есть изоморфизм, да ещё канонический, то нет вообще особого смысла различать между собой эти объекты. Каждый вектор легко выступает как ковектор (может быть превращён в ковектор), а каждый ковектор - как вектор. По сути, мы можем говорить только о векторах, и об их двоякой роли. И в этом случае, не говорят про контравариантные и ковариантые векторы - а говорят про векторы вообще, и про их контравариантые и ковариантные компоненты (координаты), то есть, про координаты в контравариантном (векторном) и ковариантном (ковекторном) базисе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение06.12.2014, 03:47 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Munin

Проще и понятнее было бы такое объяснение.

Пусть есть "исходное полотно" со множеством векторов (бумага со стрелочками). И наложенная на бумагу плёнка с двумя - базисными - векторами и ещё одним множеством векторов.

Так вот, преобразование базиса - сжатие-растяжение и поворот плёнки - приводит к тому, что с т.з. плёнки векторы на бумаге поменялись в "обратную" сторону и требуют пересчёта через обратную (контр-) матрицу. А с т.з. бумаги, векторы плёнки остались "вморожены" в плёнку и повернулись-растянулись вместе с ней, и пересчёт нужно делать в прямом направлении (ко-). Причём, пересчёт как бы в старом базисе.

Но для плёнки ко- и контравариантность меняются местами. Для неё это бумага претерпела преобразование (обратное, естественно).

-- 06.12.2014, 04:53 --

И далее. Вектор контравариантный, на бумаге, это "сущность без цифр, а цифры видны только в базисе на плёнке". Вектор ковариантный же - это "инструмент измерения" для векторов, чтобы переводить их "сущность" в цифры (и контравариантные как "сущности" не меняются при смене базиса), он нанесён на плёнке и, как и базисные векторы, меняется вместе с ними по единому правилу, чтобы результаты измерений любыми инструментами (ковариантными векторами-линейными функционалами) изменились одинаково.

-- 06.12.2014, 05:01 --

И ещё. В аналогии бумаги и плёнки один и тот же вектор автоматически имеет координаты как в исходном "бумажном" базисе (контравариантные), так и в "плёночном" (ковариантные компоненты).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Alex_J в сообщении #941045 писал(а):
Проще и понятнее было бы такое объяснение.
...
Но для плёнки ко- и контравариантность меняются местами. Для неё это бумага претерпела преобразование (обратное, естественно).

Проще и понятнее, но невернее. Это другая вещь: активные и пассивные преобразования.

Alex_J в сообщении #941045 писал(а):
И далее. Вектор контравариантный, на бумаге, это "сущность без цифр, а цифры видны только в базисе на плёнке".

Это верно. А дальше - опять нет. Ковектор - тоже на бумаге, и "сущность без цифр". Вот только это не вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 02:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
Alex_J в сообщении #941041 писал(а):
на хорошем корректном примере увидеть смысл различий ко- и контравариантных векторов.
Предлагаю такой пример. На обычной плоскости с обычным скалярным произведением (проекция одного вектора на второй) задан неортогональный базис $\{\mathbf{e^1,e^2}\}$. С одной стороны, любой вектор раскладывается по такому базису: $\mathbf{x}=x_1\mathbf{e^1}+x_2\mathbf{e^2}$, с другой, $x_1\ne (\mathbf{x},\mathbf{e^1})$, поэтому все считать плохо и неудобно. Поэтому введем биортогональный (контравариантный) базис $\{\mathbf{e_1,e_2}\}$, такой что $(\mathbf{e_i},\mathbf{e^k})=\delta_{ik}$. Сразу наступает счастье, поскольку оказывается, что $x_i= (\mathbf{x},\mathbf{e_i})$. Любой вектор можно разложить и по этому, новому базису: $\mathbf{x}=x^1\mathbf{e_1}+x^2\mathbf{e_2}$. Очевидно, что $x_i\ne x^i$, и все свойства ко и контрвариантных векторов в этом простом примере присутствуют. Так, $(\mathbf{x},\mathbf{y})=x^1y_1+x^2y_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 02:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(amon)

А почему у вас индексы болдом? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 04:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

Munin в сообщении #941586 писал(а):
А почему у вас индексы болдом? :-)
Ленив от природы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11288
Hogtown
Ну и еще пример более сложный, но в нем выбрать базис$\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2\}$ ортогонормированным может быть и невозможно.

Рассматривается (для простоты, в размерности 2) оператор Шрёдингера $H=-\Delta +V(\mathbf{x})$, в $\mathbb{R}^2$ где $V(\mathbf{x})$ периодична. А что это значит? Существует решётка периодов $\Gamma =\{ n_1\mathbf{e}^1+n_2\mathbf{e}^2: (n_1,n_2)\in \mathbb{Z}^2\}$ (тогда векторы $\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2$ выбираются не совсем однозначно, но их выбрать ортонормированными не всегда возможно: например решётка гексагональная). Нас интересует спектр этого оператора.

Тогда имеет смысл рассмотреть оператор $H(\mathbf{k})$ на элементарной ячейке $E=\{ x_1\mathbf{e}^1+x_2\mathbf{e}^2: (x_1,x_2)\in [0,1]^2\}$, $H(\mathbb{k})=-\Delta +V(\mathbf{x})$, но задан он на пространстве функция $\mathsf{H}(\mathbf{k})$, имеющий вид $u= e^{i(\mathbf{k})\cdot (\mathbf{x})}v(\mathbf{x})$ с периодическими $v$. Здесь квазиимульс $\mathbf{k}$ пробегает двойственную ячейку $E'=\{ k_1\mathbf{e}_1+k_2\mathbf{e}_2: (x_1,x_2)\in [0,2\pi]^2\}$, где $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$ биортогональный базис.

Ответ: $H(\mathbf{k})$ имеет дискретный спектр, а вот исходный оператор имеет (как правило) непрерывный спектр который будет объединением спектров $H(\mathbf{k})$.

-- 07.12.2014, 00:26 --

(Оффтоп)

Случайно напечатал \mathbb{k} и другие строчные буквы и цифры и получил интересные символы

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #941615 писал(а):
Случайно напечатал \mathbb{k} и другие строчные буквы и цифры и получил интересные символы

В шрифте mathbb нет строчных букв, но видимо, команда этого не замечает, а просто подбирает из кодовой таблицы шрифта что попало - вот и получаются "интересные символы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о производной четырехмерного потенциала
Сообщение07.12.2014, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11288
Hogtown

(Оффтоп)

Munin в сообщении #941656 писал(а):
В шрифте mathbb нет строчных букв, но видимо, команда этого не замечает, а просто подбирает из кодовой таблицы шрифта что попало - вот и получаются "интересные символы".

Это известно, хотя и не совсем правильно: при загрузке одного из пакетов bbold, mathbbol, mbboard команда \mathbb выдает правильные строчные буквы и цифры. И вообще, \mathbb — команда, а не название шрифта (AMSb—при загрузке amsfonts)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group