"Нестыковка" в ТФКП

[IGOR1]

Sicker в сообщении #941209 писал(а):

Из этого определения выведите необходимые и достаточные условия на функцию $f(z)=h(x,y)+is(x,y)$, при которых она имеет производную, и чему она тогда равна

Речь идет об условиях Коши-Римана. Но мне хотелось бы узнать как эти авторы выводили эти условия - с четким графическим материалом - иначе не возможно понять. Если такие материалы невозможно предоставить, то так надо и сказать и у меня больше нет вопросов

[Sicker]

Их сложно нарисовать, но можно представить

[IGOR1]

Sicker в сообщении #941219 писал(а):

Их сложно нарисовать, но можно представить

Благодарю вас - теперь перейдем к автомобильному спидометру

[provincialka]

Функция комплексной переменной описывается не графиком, ее удобнее рассматривать как преобразование плоскости.

Ну что делать, если мы живем в трехмерном пространстве, и для координат $x,y,u,v$ "не хватает места". Смирнов в этом точно не виноват.

[IGOR1]

provincialka в сообщении #941222 писал(а):

Ну что делать, если мы живем в трехмерном пространстве, и для координат $x,y,u,v$ "не хватает места". Смирнов в этом точно не виноват.

Благодарю вас - теперь по теме

[Munin]

provincialka в сообщении #941167 писал(а):

Хм... График комплексной функции комплексного аргумента? Как это?

Это двумерная поверхность в $\mathbb{C}\times\mathbb{C},$ очевидно. Риманова поверхность.

IGOR1 в сообщении #941169 писал(а):

Но без графического материала просто на пальцах конечно невозможно сделать что-то серьезное

Возможно. Формулами.

[IGOR1]

Munin в сообщении #941300 писал(а):

Возможно. Формулами.

Согласен формулами можно и нужно - но это редкий случай, когда без точного рисунка невозможно понять, что авторы имели ввиду - хотя их идея с частными производными довольно красивая

[provincialka]

Munin в сообщении #941300 писал(а):

Это двумерная поверхность в $\mathbb{C}\times\mathbb{C},$ очевидно. Риманова поверхность.

Ну вот! А я и не знала. Только клиент хотел ее увидеть.

IGOR1 в сообщении #941336 писал(а):

это редкий случай, когда без точного рисунка невозможно понять, что авторы имели ввиду

Да что вы! Совсем не редкий. В математике сколько-нибудь продвинутые теории уходят в такие абстракции, что рисунки там и рядом не стояли. Но это трудно. Да, трудно, нечего скрывать.

[Cos(x-pi/2)]

IGOR1, не смешите народ, это всё элементарно понимается без рисунка, как и не сложная алгебра:

Выписываем приращения вещественной и мнимой частей функции $f=h+is$ по обычным правилам для функций двух переменных:

$df=dh+ids=\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy+i\frac{\partial s}{\partial x}dx+i\frac{\partial s}{\partial y}dy=$

и приводим подобные члены с $dx$ и $idy$ :

$=(\frac{\partial h}{\partial x}+i\frac{\partial s}{\partial x})dx \,+\, (-i\frac{\partial h}{\partial y}+\frac{\partial s}{\partial y}) idy$ .

Теперь очевидно, что обе скобки здесь должны быть равны друг другу, для того чтобы можно было вынести за скобку $(dx+idy)$, т.е. чтобы результат записался в виде $f'(z)dz$. Ну, дык, и приравниваем скобки:

$(\frac{\partial h}{\partial x}+i\frac{\partial s}{\partial x})=(-i\frac{\partial h}{\partial y}+\frac{\partial s}{\partial y})$ .

Одно комплексное равенство означает два равенства - для действительных и мнимых его частей, т.е.:

$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial s}{\partial y}$
$\frac{\partial s}{\partial x}=-\frac{\partial h}{\partial y}$

Всё. Как говорится, делов-то...

Можно дать и наглядный вывод, опирающийся только на классические знания типа "потенциальное поле сил". Совершенно наглядный тем, кто учился в вузе хорошо. Потребуем, чтобы интеграл от функции f(z) между любыми двумя точками в заданной области на плоскости $x,y$ не зависел от выбора пути, соединяющего эти точки в данной области. Наглядная идея: функция $f(z)=h(x,y)+is(x,y)$ "похожа на вектор силы" $\mathbf{F}$ с составляющими $h$ и $s$, а величина $dz=dx+idy$ "похожа на вектор элемента пути" $d \mathbf{r}$; поэтому подынтегральное выражение f(z)dz немного "похоже на работу" $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ силы на элементе пути, и требование независимости интеграла от формы пути напоминает известное в классической механике условие потенциальности силы. Отличие только в том, что f(z)dz имеет действительную и мнимую часть, поэтому и условий будет два.

Как обычно, чтобы равнялись друг другу интегралы по двум путям между парой точек, должен быть равен нулю интеграл по замкнутому контуру, составленному из обоих путей; т.е. требуем, чтобы для любого замкнутого контура С в рассматриваемой области выполнялось равенство:

$0=\oint \limits_C f(z)dz=\oint \limits_C (h+is)(dx+idy)=\oint \limits_C (hdx-sdy)+i\oint \limits_C (sdx+hdy)$ .

Значит, надо приравнять нулю оба последних интеграла, и это можно записать как два условия для двух действительных "силовых полей", $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$:

$0=\oint \limits_C (A_xdx+A_ydy) = \oint \limits_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$ ,

$0=\oint \limits_C (B_xdx+B_ydy) = \oint \limits_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}$ ,

где:

$A_x=h\, , \,$ $\, A_y=-s\, , \, $
$B_x=s\, , \,$ $\, B_y=h\, , \, $

По теореме Стокса каждый из таких интегралов равен интегралу по площади S внутри контура C:

$\oint \limits_C \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} = \int \limits_S d\mathbf{S}\cdot \operatorname{rot} \mathbf{A} =\int \limits_S (\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})dxdy= 0$ ,

$\oint \limits_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{r} = \int \limits_S d\mathbf{S}\cdot \operatorname{rot} \mathbf{B} =\int \limits_S (\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y})dxdy= 0$ .

Поскольку это должно быть верно для любой площадки S, то должны быть равны нулю функции под знаком интегралов:

$\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} = 0$ ,
$\frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y} = 0$ .

Эти равенства, с учётом нашего определения $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$, как раз и представляют собой условия К.-Р.:

$\frac{\partial s}{\partial x}=-\frac{\partial h}{\partial y}$ ,
$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial s}{\partial y}$ .

[IGOR1]

provincialka в сообщении #941386 писал(а):

В математике сколько-нибудь продвинутые теории уходят в такие абстракции, что рисунки там и рядом не стояли.

Да я знаю такие теории - но хотелось бы чтобы эти теории были хоть немножко понятны для среднего человека

[provincialka]

Зачем? Некоторые средневековые ученые считали, что научная теория - удел избранных, и нельзя ее "бросать в массы", дабы они не извратили ее чистоту. В наше время обязательного всеобщего образования читать такое странно.
Но что-то есть в этой идее, что-то есть... А впрочем,

Коровьев писал(а):

Зрительская масса как будто ничего не заявляла?

Массы - они такие.

[Toucan]

Отделено от темы «Как согласно СТО работает автомобильный спидометр?»

[IGOR1]

Cos(x-pi/2) в сообщении #941394 писал(а):

Теперь очевидно, что обе скобки здесь должны быть равны друг другу, для того чтобы можно было вынести за скобку $(dx+idy)$, т.е. чтобы результат записался в виде $f'(z)dz$.

Огромное спасибо что вы так подробно мне все объяснили. Когда я первый раз прочитал это, мне это показалось блестящим математическим решением. Но прочитав это 4 раза, я заметил, что нам не нужно выносить выражение $(dx+idy)$ за скобку, так как чтобы получить производную, достаточно разделить дифференциал $df$ на выражение $(dx+idy)$, т.е. $\frac {df}{(dx+idy)}$

-- 06.12.2014, 23:12 --

provincialka в сообщении #941468 писал(а):

Но что-то есть в этой идее, что-то есть... А впрочем,

Да конечно в этой идее что-то есть, но у массы численное преимущество и она может надавить как это не раз бывало в истории нашей родины

[provincialka]

Ага! Прям вижу лозунги в руках у демонстрантов:

"Конформные преобразования - для каждой конфорки".
"Не касайтесь касательных расслоений".

Или рекламу:

"На наших сферах самые модные ручки".
"Хочешь сделать свой граф планарным? Я расскажу тебе, как"

[IGOR1]

provincialka в сообщении #941494 писал(а):

Ага! Прям вижу лозунги в руках у демонстрантов:

Если бы только лозунги - это еще полбеды. Они могут взять в руки и более серьезные предметы