Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор

[Katmandu]

Помогите решить диффуру в частных производных 2-го порядка.
Она имеет следующий вид:

$$ \dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} = \dfrac {\partial u}{\partial y}$$

ответ мне известен,
Но как решать такое уравнение, с чего начать?

-- 05.12.2014, 19:15 --

Может можно интерпретировать так:
Ускорение по оси икс + ускорение по оси игрек = скорости по оси игрек.
Отсюда следует что ускорение по оси икс равняется нулю.

А теперь рассматриваем уравнение

$$ \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} = \dfrac {\partial u}{\partial y}$$

И теперь решается без проблем

[Brukvalub]

Это "просто уравнение"? Нет никаких ограничений на переменные, нет нач. или граничных условий?

[Katmandu]

Brukvalub в сообщении #940727 писал(а):

Это "просто уравнение"? Нет никаких ограничений на переменные, нет нач. или граничных условий?

Это просто уравнение. Нужно общее решение.

[пианист]

Katmandu

Не вполне понял, что Вы, собс-но, хотите, но, возможно, Вам поможет факт, что после замены $u=ve^{\frac{y}{2}}$ получится уравнение Гельмгольца.

[Brukvalub]

Вот ему и нужны "все решения уравнения Гельмгольца". Вот только как их "все" записать?

[Katmandu]

Было задание привести к каноническому виду и решить ДУ.
То, что я написал выше, это уже канонический вид. Уравнение эллиптического типа.
Далее нужно найти u. Как решать мне неизвестно. Но вот ответ $ u(x,y) = c_1 e^y + c_2$ подходит. Это решение вольфрама.

[Brukvalub]

Дичь какая-то. Давайте начнем с более простого уравнения. Запишите ОДНОЙ ФОРМУЛОЙ ВСЕ решения уравнения Лапласа на плоскости (то есть ВСЕ гармонические функции 2-х переменных)

[Katmandu]

Получается
$ \dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} = 0 $
или
$ \dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} = - \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} $

Ну если подбирать то получится функция типа $ u = c_1 e^{x+iy} + c_2 x + c_3 y + c_4$

[Brukvalub]

А если не подбирать?

[Katmandu]

Ну пусть

$ \dfrac {\partial ^2 u} {\partial x^2} = m(x,y)$
и
$ \dfrac {\partial ^2 u} {\partial y^2} = -m(x,y)$

..
$ \dfrac {\partial u} {\partial x} = \int{m(x,y)dx} + c_1 y + c_2$
$ \dfrac {\partial u} {\partial y} = -\int{m(x,y)dy} + c_3 x + c_4$

или
$ u = \int{(\int{m(x,y)dx} + c_1 y + c_2)dx} + c_5 x + c_6$
$ u = \int{(-\int{m(x,y)dy} + c_3 x + c_4)dy} + c_7 y + c_8$

$$ \int{(\int{m(x,y)dx} + c_1 y + c_2)dx} + c_5 x + c_6 = \int{(-\int{m(x,y)dy} + c_3 x + c_4)dy} + c_7 y + c_8 $$

не знаю, дальше что то сложно всё

-- 05.12.2014, 21:16 --

Можно наверное еще заметить
$ \dfrac {\partial ^2 u} {\partial x \partial y} = \int{ \dfrac {\partial m(x,y)} {\partial y}dx} + c_1 = -\int{ \dfrac {\partial m(x,y)} {\partial x}dy} + c_3$

[Brukvalub]

Еще 5467 ведер - и золотой ключик - НАШ! Еще немного, и вы станете первым человеком, который одной формулой ЯВНО описал все гармонические функции на плоскости.

[Katmandu]

[ИСН]

Диффуры в частных производных так не работают.

[Munin]

Brukvalub в сообщении #940793 писал(а):

Еще немного, и вы станете первым человеком, который одной формулой ЯВНО описал все гармонические функции на плоскости. :D

$\displaystyle\int\left\{[c_1(k)e^{kx}+c_2(k)e^{-kx}]\sin(ky)+[c_3(k)e^{kx}+c_4(k)e^{-kx}]\cos(ky)\right\}dk+\text{the same}_{x\leftrightarrow y}(c_5,c_6,c_7,c_8).$

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #940793 писал(а):

Еще немного, и вы станете первым человеком, который одной формулой ЯВНО описал все гармонические функции на плоскости

$\operatorname{Re}f(x+iy)$ с целой функцией $f$. Или это считается неявным описанием?

Но с Гельмгольцем хуже. Хотя с помощью преобразования Фурье можно выписать общий вид такой функции умеренного роста.

Munin,
это не все гармонические функции, и более это множество неинвариантно относительно поворотов