2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 16:23 


18/04/14
157
sbp
Помогите решить диффуру в частных производных 2-го порядка.
Она имеет следующий вид:

$$ \dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} = \dfrac {\partial u}{\partial y}$$

ответ мне известен,
Но как решать такое уравнение, с чего начать?

-- 05.12.2014, 19:15 --

Может можно интерпретировать так:
Ускорение по оси икс + ускорение по оси игрек = скорости по оси игрек.
Отсюда следует что ускорение по оси икс равняется нулю.

А теперь рассматриваем уравнение
$$ \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} = \dfrac {\partial u}{\partial y}$$
И теперь решается без проблем

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Это "просто уравнение"? Нет никаких ограничений на переменные, нет нач. или граничных условий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 16:54 


18/04/14
157
sbp
Brukvalub в сообщении #940727 писал(а):
Это "просто уравнение"? Нет никаких ограничений на переменные, нет нач. или граничных условий?

Это просто уравнение. Нужно общее решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2320
МО
Katmandu

Не вполне понял, что Вы, собс-но, хотите, но, возможно, Вам поможет факт, что после замены $u=ve^{\frac{y}{2}}$ получится уравнение Гельмгольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вот ему и нужны "все решения уравнения Гельмгольца". Вот только как их "все" записать? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 17:25 


18/04/14
157
sbp
Было задание привести к каноническому виду и решить ДУ.
То, что я написал выше, это уже канонический вид. Уравнение эллиптического типа.
Далее нужно найти u. Как решать мне неизвестно. Но вот ответ $ u(x,y) = c_1 e^y + c_2$ подходит. Это решение вольфрама.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Дичь какая-то. Давайте начнем с более простого уравнения. Запишите ОДНОЙ ФОРМУЛОЙ ВСЕ решения уравнения Лапласа на плоскости (то есть ВСЕ гармонические функции 2-х переменных) :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 18:02 


18/04/14
157
sbp
Получается
$ \dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2} = 0 $
или
$ \dfrac {\partial^2 u}{\partial x^2} = - \dfrac {\partial^2 u} {\partial y^2}  $

Ну если подбирать то получится функция типа $ u = c_1 e^{x+iy} + c_2 x + c_3 y + c_4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 18:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А если не подбирать? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 18:25 


18/04/14
157
sbp
Ну пусть

$ \dfrac {\partial ^2 u} {\partial x^2} = m(x,y)$
и
$ \dfrac {\partial ^2 u} {\partial y^2} = -m(x,y)$

..
$ \dfrac {\partial  u} {\partial x} = \int{m(x,y)dx} + c_1 y + c_2$
$ \dfrac {\partial  u} {\partial y} = -\int{m(x,y)dy} + c_3 x + c_4$

или
$ u  = \int{(\int{m(x,y)dx} + c_1 y + c_2)dx} + c_5 x + c_6$
$ u = \int{(-\int{m(x,y)dy} + c_3 x + c_4)dy} + c_7 y + c_8$

$$  \int{(\int{m(x,y)dx} + c_1 y + c_2)dx} + c_5 x + c_6 = \int{(-\int{m(x,y)dy} + c_3 x + c_4)dy} + c_7 y + c_8 $$

не знаю, дальше что то сложно всё

-- 05.12.2014, 21:16 --

Можно наверное еще заметить
$ \dfrac {\partial ^2 u} {\partial x \partial y} = \int{ \dfrac {\partial m(x,y)} {\partial y}dx} + c_1 = -\int{ \dfrac {\partial m(x,y)} {\partial x}dy} + c_3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Еще 5467 ведер - и золотой ключик - НАШ! Еще немного, и вы станете первым человеком, который одной формулой ЯВНО описал все гармонические функции на плоскости. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 19:13 


18/04/14
157
sbp
:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Диффуры в частных производных так не работают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Brukvalub в сообщении #940793 писал(а):
Еще немного, и вы станете первым человеком, который одной формулой ЯВНО описал все гармонические функции на плоскости. :D

$\displaystyle\int\left\{[c_1(k)e^{kx}+c_2(k)e^{-kx}]\sin(ky)+[c_3(k)e^{kx}+c_4(k)e^{-kx}]\cos(ky)\right\}dk+\text{the same}_{x\leftrightarrow y}(c_5,c_6,c_7,c_8).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное уравнение в частных производных второго пор
Сообщение05.12.2014, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11312
Hogtown
Brukvalub в сообщении #940793 писал(а):
Еще немного, и вы станете первым человеком, который одной формулой ЯВНО описал все гармонические функции на плоскости


$\operatorname{Re}f(x+iy)$ с целой функцией $f$. Или это считается неявным описанием?

Но с Гельмгольцем хуже. Хотя с помощью преобразования Фурье можно выписать общий вид такой функции умеренного роста.

Munin,
это не все гармонические функции, и более это множество неинвариантно относительно поворотов

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group