Дифференциальная геометрия

[Smolselena]

Докажите, что площади областей на параболоидах $z=a (x^2+y^2)/2$ и $z=a x y$, проектирующиеся на одну и туже область плоскости $xOy$,равны.

Запуталась с этой задачкой.Это задача на тему первая квадратичная форма .Проекция $z=a (x^2+y^2)/2$ на плоскость $xOy$ это окружность, но я не знаю какого радиуса.Помогите пожалуйста с идеей

[ИСН]

Отложите эту задачу на полку и возьмите через год. Она не на эту тему и попала к Вам по ошибке.

-- менее минуты назад --

Тут интегралы надо.

-- менее минуты назад --

Чтобы.

[Smolselena]

а как решить через интегралы?

[ИСН]

Через интегралы.

-- менее минуты назад --

Ну, знаете, как площадь поверхности найти (вот тут и будут интегралы), если дано уравнение этой поверхности, типа $z(x,y)$?

[provincialka]

Да собственно, зачем интегралы? Ведь область произвольная. Значит, надо для каждой поверхности записать элемент площади. По формуле $dS = \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$

[Smolselena]

разве в этой формуле нет двойного интеграла? и как мне найти пределы интегрирования?

[provincialka]

А зачем? Если вы берете интеграл от одного и того же выражения, он будет одинаковым, для любой области.

Если $\int\limits_{A}{fdm}=\int\limits_{A}{gdm}$ для любой измеримой области $A$, это и значит, что $f=g$. Ну, практически равны (в случае непрерывных функций - равны в точности)

[ИСН]

Двойной интеграл есть, а область - та, что упоминается в условии (словами "одна и та же").
Какая именно это область, лучше не думать.

[Smolselena]

То есть как я поняла мне надо подставить производную для 2 параболоидов в ту формулу которую вы написали .Да , получается что $ds$ совпадают.Так? и еще откуда это формула? (нам ее не давали)

[ИСН]

Smolselena в сообщении #939561 писал(а):

и еще откуда это формула? (нам ее не давали)

Я же сразу сказал:

ИСН в сообщении #939538 писал(а):

Отложите эту задачу на полку и возьмите через год. Она не на эту тему и попала к Вам по ошибке.

[Smolselena]

я хочу разобраться, а не откладывать на год.И интегралы я знаю.Я не понимаю как расставить здесь пределы интегрирования

[ИСН]

Здесь не надо расставлять пределы интегрирования. Здесь надо расставить пределы интегрирования так, чтобы они соответствовали области, упомянутой в условии ("одной и той же"), а что это за область? Это любая область.

[provincialka]

Smolselena в сообщении #939532 писал(а):

Проекция $z=a (x^2+y^2)/2$ на плоскость $xOy$ это окружность, но я не знаю какого радиуса.

Нет. Не окружность. Вся плоскость.

[Evgenjy]

Smolselena в сообщении #939532 писал(а):

Докажите, что площади областей на параболоидах $z=a (x^2+y^2)/2$ и $z=a x y$, проектирующиеся на одну и туже область плоскости $xOy$,равны.

Сравните нормали к поверхностям.

[Алексей К.]

Smolselena в сообщении #939532 писал(а):

.Проекция $z=a (x^2+y^2)/2$ на плоскость $xOy$ это окружность, но я не знаю какого радиуса.Помогите пожалуйста с идеей

Не понял. Вы знаете, что это окружность (каким-то способом проверили), но не знаете радиуса???

Скоро мне предстоит засыпать, и обдумывание этой ситуации (попытка её сымитировать) значительно облегчат мучительный процесс засыпания.
Спасибо.

-- 04 дек 2014, 23:05:23 --

provincialka в сообщении #939575 писал(а):

Нет. Не окружность. Вся плоскость.

Полагаю, ТС подразумевал(а) сечение при фиксированном $z$. Может, я снова ошибся, но пока буду исходить из этого.