Point group of graphene

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помоги, пожалуйста, разобраться.
Рисунок:

Оси направлены по primitive vectors $\overrightarrow{a_1} = (1, 0)$ и $\overrightarrow{a_2} = (-1, \sqrt{3})\frac{a}{2}$ (почему так делают, тоже вопрос).
Надо выписать все операции (отражения, вращения и прочее), что оставляют такую систему инвариантной.
И что-то я не понимаю.
Например, рассмотрим вращения на $180^\circ$ вокруг оси $z$. Будем вращать систему, а не координатные оси.
Получаем:

На мой взгляд, система стала другой. Так ли это? Есть строгое математическое определение понятия "симметрии" в таком случае?
Меня очень смущает, что если, например, поместить начало системы координат в эту точку:

, то в этом случае система при вращение останется той же.
Где я ошибаюсь?

[Munin]

Это вопрос, скорее, к математикам...