Итак, подведем итоги. В результате нашего короткого обсуждения мы согласились друг с другом, что в представлении

в общем случае рассматривать вторую запись как умножение, в стандартном понимании этого слова, нельзя, поскольку оператор

вводится посредством определения на каждом элементе

. И в отличие от конечномерного случая, когда каждый линейный оператор однозначно определяется своей матрицей, ничего вроде умножения, вообще говоря, состряпать не удастся.
Отображение же (которым оператор и является) называть умножением не стоит. И наоборот.
(Оффтоп)
Я буду Вам признательна, если Вы не станете также приписывать мне то, чего я не говорила:
почему? может быть просто надо хитро подобрать умножение? Да и определить, что за зверь

"этот зверь"-линейный оператор
"хитро подобрать умножение"- определить его как подстановку вектора в линейный оператор,

точки под И видны?
