Техника взятия функциональных производных

[propagator]

Торможу на банальном
$\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)} = -\Box \varphi - \frac{\partial V}{\partial \varphi}$,
где $S[\varphi] = \int d^4 x \left[ \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \varphi)^2 - V(\varphi) \right] $.

Беру по рабоче-крестьянски:
$\begin{aligned}\frac{\delta S}{\delta \varphi(x)} = &\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} \bigg\{ \int d^4 y \left[ \frac{1}{2} \left( \partial_{\mu} \varphi + \varepsilon \partial_{\mu} \delta^{(4)}(x-y) \right) \left( \partial^{\mu} \varphi + \varepsilon \partial^{\mu} \delta^{(4)}(x-y) \right) - V(\varphi + \varepsilon \delta^{(4)}(x-y)) \right] - \\ &- \int d^4 y \left[ \frac{1}{2} \partial_{\mu} \varphi \partial^{\mu} \varphi - V(\varphi) \right] \bigg\} = \\ &= \int d^4 y \left\{ \frac{1}{2} \left[ \partial_{\mu} \varphi \partial^{\mu}\delta^{(4)} (x-y) + \partial_{\mu} \delta^{(4)} (x-y) \partial^{\mu} \varphi \right] - V'(\varphi) \delta^{(4)} (x-y) \right\} \end{aligned} $
Второй член действительно получается после взятия интеграла.
Вопрос: где я торможу, что у меня не получается "коробочка" (да простит меня Д’Аламбер), точнее получается половина коробочки без знака минус, да еще и непонятный член вида $\partial_{\mu} \varphi \partial^{\mu}$?

-- 27.11.2014, 00:35 --

Да, и еще. Научите, пожалуйста, брать такие вещи сходу, без занудного определения с $\varepsilon$. Второй член я еще понимаю как "увидеть", а вот первый совсем нет. То же самое с уравнениями движения. Я прекрасно понимаю, как получить д'аламбертиан в уравнениях движения используя метрику и понижение/повышение индексов, но хоть убей не пойму как народ сразу пишет д'аламбертиан видя $\frac{1}{2}(\partial_{\mu} \varphi)^2$ в лагранжиане.

[ChaosProcess]

$$\delta S=S[\phi+\delta\phi]-S[\phi]=\int d^4 x[\frac{1}{2}2\partial_{\mu}\phi\partial_{\mu}\delta\phi-\frac{\partial V}{\partial\phi}\delta\phi]$$

$$\int d^4 x\partial_{\mu}\phi\partial_{\mu}\delta\phi=\int d^4 x g_{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\delta\phi=\int dS_{\nu} \delta\phi g_{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi-\int d^4 x g_{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi\delta\phi$$

$$\frac{\delta S}{\delta\phi}=-g_{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi-\frac{\partial V}{\partial\phi}$$

[propagator]

ChaosProcess там вообще-то верхний индекс должен быть, т.к. $(\partial_{\mu} \varphi)^2 = \partial_{\mu} \varphi \partial^{\mu} \varphi$, это можно исправить с помощью метрики, но я выше писал, что этот метод мне как раз понятен и вопрос мой заключается в том, что я неправильно применяю в рабоче-крестьянском методе. Спасибо, тем не менее.

[ChaosProcess]

propagator в сообщении #936793 писал(а):

ChaosProcess там вообще-то верхний индекс должен быть, т.к. $(\partial_{\mu} \varphi)^2 = \partial_{\mu} \varphi \partial^{\mu} \varphi$

Да, я написал все в нижних индексах просто для скорости.

propagator в сообщении #936793 писал(а):

но я выше писал, что этот метод мне как раз понятен и вопрос мой заключается в том, что я неправильно применяю в рабоче-крестьянском методе.

Вот это не понял. Вам хочется именно через дельта функцию считать вариации? Но это плохое трюкачество - дельта функция имеет сингулярность и априори плохо подходит для роли малой вариации.

[amon]

А Вы не пробовали воспользоваться тем, что $\int\delta'(x-x_0)f(x)dx=-f'(x_0)$?

[propagator]

ChaosProcess в сообщении #936803 писал(а):

Вот это не понял. Вам хочется именно через дельта функцию считать вариации? Но это плохое трюкачество - дельта функция имеет сингулярность и априори плохо подходит для роли малой вариации.

там не просто дельта-функция, а взвешенная дельта-функция, так что в этом плане там все законно.

amon в сообщении #936804 писал(а):

А Вы не пробовали воспользоваться тем, что $\int\delta'(x)f(x)dx=-f'(x)$?

Да, спасибо, уже дошло.

[ChaosProcess]

propagator в сообщении #936805 писал(а):

там не просто дельта-функция, а взвешенная дельта-функция, так что в этом плане там все законно.

Думаю, математики с вами не согласятся

[propagator]

$\displaystyle \frac{\delta F[\varphi]}{\delta \varphi(y)} = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{F[\varphi + \varepsilon \delta (x-y)] - F[\varphi]}{\varepsilon}$
Если договориться, что предел по $\varepsilon$ берется в первую очередь, то никаких квадратов дельта-функций и прочих неприятностей быть не должно.