Гравитация - искривление пространства?

[epros]

А давайте я для _Z_ вслух прочту и переведу: Если в статической системе отсчёта провести плоскость через центр звезды, то её геометрия будет такой же, как на изображённой ямчатой поверхности, ежели последнюю построить в обычном евклидовом пространстве.

Это имеет отношение к той самой пространственной геометрии (без времени), про которую Вы хотели услышать. Однако это не имеет отношения к тому, что именуется силами тяготения.

[_Z_]

epros в сообщении #935627 писал(а):

Это имеет отношение к той самой пространственной геометрии (без времени), про которую Вы хотели услышать.

Это хорошо.

epros в сообщении #935627 писал(а):

Однако это не имеет отношения к тому, что именуется силами тяготения.

А вот это не понятно. А к чему тогда имеет?

Можно ли сказать, что на рисунке отображено сечение постоянного времени?

[Утундрий]

_Z_ в сообщении #935681 писал(а):

Можно ли сказать, что на рисунке отображено сечение постоянного времени?

Можно ли сказать, что три, сорок один, двадцать цыплят и солнечное горлышко? Конечно можно. Только зачем такое говорить?

[Munin]

12d3 в сообщении #935464 писал(а):

Вопрос, возможно, не очень в тему. Есть пространство произвольной размерности с произвольной метрикой. Каково определение понятия "плоский"? Для любой ли размерности оно существует? Ну или хотя б для 4-мерного.

"Плоский" - означает как раз $R^\lambda{}_{\mu\nu\rho}=0,$ все компоненты равны нулю.

В 2-мерном пространстве там одна компонента. Она означает выпуклость, как у сферы, или искривление типа седла. Плоскими являются поверхности цилиндра и конуса - они плоские в смысле внутренней геометрии, причём локально плоские, - о том, что где-то там они замыкаются на себя (глобальная топология), вопрос не ставится.

В 3-мерном пространстве - 6 компонент. В 4-мерном - 20. И так далее. Кстати, в 2- и 3-мерном пространстве весь тензор Римана можно свести к тензору Риччи, и к кривизне "типа двумерной", а в 4-мерном пространстве - появляются уже новые компоненты кривизны.

Утундрий в сообщении #935587 писал(а):

Интересная арифметика.

Да, мне уже подсказали. Знатно я считаю :-)

[12d3]

А вопрос еще такой. Если мы будем решать уравнение $R^\lambda_{\mu \nu \rho} = 0$, мы всегда получим метрику $g_{ij} = \pm \delta_{ij}$ (плюс-минус для каждого компонента свой)?

[Someone]

Берёте метрику $ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ и делаете произвольную (класса $C^2 $) замену координат. Всё, что таким способом может получиться, будет решением системы уравнений

12d3 в сообщении #935855 писал(а):

$R^\lambda_{\mu \nu \rho} = 0$

[Munin]

12d3 в сообщении #935855 писал(а):

А вопрос еще такой. Если мы будем решать уравнение $R^\lambda_{\mu \nu \rho} = 0$, мы всегда получим метрику $g_{ij} = \pm \delta_{ij}$ (плюс-минус для каждого компонента свой)?

(Примечание: принято писать греческие буквы для пространственно-временных индексов $0\ldots 3,$ и латинские для чисто пространственных $1\ldots 3.$ В Ландау-Лифшице и ещё паре старых книг соглашение наоборот. Метрический тензор Минковского принято обозначать не $\pm\delta_{\mu\nu},$ а $\eta_{\mu\nu}\equiv\operatorname{diag}(+1,-1,-1,-1)$ (или с противоположным знаком, смотря по соглашению о знаках).)

Нет.

Дело в том, что это уравнение не задаёт величины $g_{\mu\nu}$ однозначно. Остаётся некоторая свобода, аналогичная калибровочной свободе для потенциалов в электродинамике: там можно к любому потенциалу прибавить добавку $\partial_\mu f,$ и физически ничего не изменится: вычисленные из потенциала напряжённости полей окажутся теми же самыми, силы на заряды окажутся теми же самыми, и вообще любые физические эффекты не изменятся. См. ЛЛ-2 § 18, Рубаков. Классические калибровочные поля. Аналогия доходит до того, что величины $g_{\mu\nu}$ иногда называются гравитационными потенциалами (не в том смысле, как в ньютоновской теории гравитации, а в смысле теории поля ранга 2).

Для метрики $g_{\mu\nu}$ аналогичная свобода связана со свободой выбора сетки координат на рассматриваемом искривлённом пространстве. Метрика - это понятие, не зависящее от координат: мы выбираем в пространстве две точки, и измеряем расстояние между ними, как будто прикладывая линейку или мерную ленту. Но если мы наносим сетку координат, то одни и те же точки оказываются связанны с разными $x,y,$ в зависимости от того, как мы сетку провели, и поэтому выражение расстояния через координаты - оказывается разным. Полная схема получается такой:
1. Некоторые не зависящие от координат сущности, например, точки, переводятся в координаты, и получаются их координатно-зависимые выражения - например, наборы координат.
2. По этим координатно-зависимым выражениям вычисляются координатно-зависимые функции, например, выраженная через координаты метрика. При этом, одна координатная зависимость компенсирует другую координатную зависимость, и на выходе получаеся снова не зависящий от координат численный результат.
Но чтобы эта компенсация произошла, вычисления должны быть построены по определённым правилам. Они перечислены в учебниках: например, это правила обращения с индексами, и правило, что в окончательном результате вычислений должна получаться скалярная величина. В общем, несложно, если потренироваться и привыкнуть.

Поэтому, различают термины метрика и метрический тензор. Метрика - это не зависящее от координат понятие, описывающее пространство в терминах расстояния. А метрический тензор - это величина $g_{\mu\nu},$ которая складывается из метрики и из выбранной сетки координат. Ещё $g_{\mu\nu}$ называют формой (записи) метрики в указанной системе координат. Говорят, что метрика в одной с.к. имеет такую форму, а в другой - другую, а сама по себе как сущность - не меняется.

Теперь, надеюсь, будет понятно такое высказывание: при решении уравнения $R^\lambda{}_{\mu\nu\rho}=0$ всегда получается плоская метрика. Но выглядит она как $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ не всегда, а только в одной сетке координат. В других сетках координат она будет выглядеть иначе, но преобразованием координат её всегда можно привести к такому виду. Вот эти свойства - аналогичны калибровочной свободе в электродинамике.

-- 25.11.2014 13:56:29 --

(Ещё примечание: я писал $R^\lambda{}_{\mu\nu\rho},$ а вы написали $R^\lambda_{\mu\nu\rho}.$ Разница кажется незначительной, но она есть. Дело в том, что у тензора вообще должен отслеживаться точный порядок, в котором записаны все его индексы, от первого до последнего, где бы они ни были, сверху или снизу. Это для удобства можно помечать ещё точечками: $R^\lambda_{\,\cdot\mu\nu\rho}.$ В том числе, это важно и для тензора Римана, у которого все четыре индекса имеют каждый своё предназначение. Можно представить себе такую аналогию: в программировании есть функции от нескольких аргументов, которые нельзя перепутывать между собой, например, pow(double x, double y)${}=x^y\ne y^x.$ Индексы тензора - это в некотором смысле и есть его аргументы. Бывают такие тензоры, у которых аргументы можно переставлять в любом порядке (симметрические тензоры), и тогда их позволяют себе записывать "всмятку", например, $\delta_i^j,$ - но тензор Римана таким не является. Кстати, тензор Риччи $R_{\mu\nu}\equiv R^\lambda{}_{\mu\nu\lambda}$ - уже является.)

[12d3]

Спасибо за ответ. Насчет плюс минуса, я имел в виду, что $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1;-1;-1;-1)$ и $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+1;+1;+1;+1)$ будут решениями (любая комбинация плюсов-минусов). И вроде как никакими преобразованиями координат одно к другому не приводится.

[Munin]

М-да.

Действительно, уравнению $R^\lambda{}_{\mu\nu\rho}=0$ удовлетворяют плоские метрики любой сигнатуры. Но сигнатуру можно как-то оговорить дополнительно. В ОТО принимается сигнатура $(1,3),$ в многомерных теориях поля - $(1,d-1).$ (Например, в теории струн бывают варианты $d=26,10,11.$)

А мой ответ как-то совсем не в кассу...