Элементарная геометрия 8

[Phaenomenon]

Доброго времени суток.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Рисунок:


Рисунок не очевиден, просто так красиво получилось . Забыл ввести обозначения высот. Ну, пусть $BH$ -- высота треугольника, а $OM$ -- радиус вневписанной окружности.

а) Думаю, надо сводить все к банальному четырехугольнику. То есть доказать прямоугольность в углах $MOA$ и $HAO$. Пока идей нет.
б) Зная соотношение, допустим $O_1 = x; OM = 4x$. Поскольку мы уже как бы потенциально доказали равенство высоты и радиуса вневписанной окружности, то $AH = 4x$. Дальше, либо что-то надо достраивать, либо рассматривать прямоугольную (?) трапецию. Очевидно же надо как-нибудь выйти на какие-нибудь подобия. Или нет. Есть идеи?

[ewert]

Phaenomenon в сообщении #934276 писал(а):

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.

Сторона $AC$ и продолжение стороны $AB$, очевидно, симметричны относительно горизрнтали. Опустите из точки $O$ перпендикуляры на эти две линии -- и сразу же увидите, что отрезок $AO$ горизонтален.

[gris]

Опять Вы нарисовали частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний. Но это не беда. Жаль, что нарисовали мало линий. Например, $BO$. Идеи сразу бы и появились.

[ewert]

gris в сообщении #934287 писал(а):

Жаль, что нарисовали мало линий. Например, $BO$.

$BO$ рисовать в равнобедренном случае довольно-таки вредно.

Что касается второго пункта. Треугольник, образованный точками $A$, $O$ и точкой касания равен (с учётом первого пункта) половинке исходного треугольника. Поэтому искомое соотношение сводится к синусу маленького угла в этих треугольниках. А этот синус нам известен, т.к. внутри равнобедренного треугольника явственно вырисовывается ещё один треугольничек, подобный этим двум.

[gris]

Я лишь подумал, что у зрителя картинки может возникнуть впечатление, что точка касания не там, где ей положено быть в общем случае. Да и положение точки $O$ всё же удобнее определять по некоторому пересечению, а потом использовать свойство внешнего угла. Конечно, соображения симметрии работают, но как школьнику их записать? Речь идёт, как я понял, не только в установлении почти очевидных фактов, но и в правильном оформлении.

[ewert]

gris в сообщении #934384 писал(а):

Конечно, соображения симметрии работают, но как школьнику их записать?

Я просто не лучшим образом выразился -- написал первое, что пришло в голову. Надо было примерно так: общеизвестно, что центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла, а биссектриса между правой стороной и продолжением левой известно куда направлена, если учесть равнобедренность.

[gris]

Ну да. Вот я и предлагал провести несколько дополнительных отрезков. А по поводу равносторонности с огорчением скажу, что 16% школьников чертят именно так и не могут абстрагироваться от иллюзии касания окружностей в середине боковой стороны. Искушённому ТС, разумеется, эта частность не помеха.
Прошу прощения за неясность изложения, но это из бычьих соображений .

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #934392 писал(а):

с огорчением скажу, что 16% школьников чертят именно так и не могут абстрагироваться от иллюзии касания окружностей в середине боковой стороны.

Я когда-то давно (лет пять назад, что ли) ещё имел дело со школьниками; и всегда пытался их в подобных случаях приучать: если в задаче есть какая-либо асимметрия -- выражайте её на рисунке как можно резче. Не помню, насколько удавалось приучить.

[Phaenomenon]

gris,ewert спасибо за ответы!

ewert в сообщении #934387 писал(а):

общеизвестно, что центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла, а биссектриса между правой стороной и продолжением левой известно куда направлена, если учесть равнобедренность.

Разве общеизвестно? Я нигде о таком свойстве или признаке никогда не слышал. Его, следовательно, надо как-то доказать? Потому что, зная это, задача приобретает иной вид.

gris в сообщении #934287 писал(а):

Жаль, что нарисовали мало линий

Да это я только здесь. На бумаге у меня тысячи разных чертежей и ни одной нормальной идеи.

Мне понравилась идея ewert'а относительно $AC$ и $AB$. Один способ хорошо -- но два еще лучше . Почему-то я не вижу симметрии.

[Toucan]

Lia в сообщении #934455 писал(а):

Phaenomenon заблокирован бессрочно как злостный клон.