Диофантово уравнение

[firex]

Существует ли способ решать такие уравнения в натуральных числах?
$\alpha x y = \beta_{0} x + \beta_{1} y + \gamma $
$ \alpha,\beta_{0},\beta_{1},\gamma \in \mathbb N $
И где можно об этом почитать? Заранее спасибо.

[Lion]

Существует, и очень простой. Это уравнение раскладывается на множители: домножьте уравнение на $\alpha$ и получится что-то вроде $(\alpha x-\beta_0)(\alpha x-\beta_1)=\alpha\gamma+\beta_0\beta_1$. Раскладываете число справа на простые, и вперед...
Об этом написано в Библиотечке Кванта, выпуск 83.

[firex]

Lion писал(а):

$(\alpha x-\beta_0)(\alpha x-\beta_1)=\alpha\gamma+\beta_0\beta_1$.

Только вроде так
$(\alpha x-\beta_1)(\alpha y-\beta_0)=\alpha\gamma+\beta_0\beta_1$
Спасибо!

Добавлено спустя 50 минут:

А такое:
$ \alpha_{0} x + \alpha_{1} y + \beta = \alpha_{2} xyz + \alpha_{3} xz$
\alpha_{i}, \beta \in \mathbb Z
аналогично в натуральных числах.

[ИСН]

А такое при каждом фиксированном значении z тупо превращается в предыдущее, а значений таких, наверное, почему-то окажется конечное число...

[firex]

Извините, я имел ввиду что если взять определенные параметры можно ли доказать что уравнение не имеет решений, или имеет бесконечно много решений, или конечное число решений.

[maxal]

firex писал(а):

Извините, я имел ввиду что если взять определенные параметры можно ли доказать что уравнение не имеет решений, или имеет бесконечно много решений, или конечное число решений.

Ну в такой общности трудно что-либо сказать. Например, для некоторых случаев неразрешимость уравнения может следовать из неразрешимости уравнения по какому-нибудь модулю.