Доказать очевидное. Непрерывность косинуса.

[integral2009]

g______d в сообщении #933225 писал(а):

Алексей

[quote="integral2009 в сообщении #932841 писал(а):

Как доказать, что $f(x)=\cos x$ непрерывна на интервале $(0;\frac{\pi}{2})$

Я думаю, надо воспользоваться определением $\cos x$. Выглядит как тролльский комментарий, наверное, но в точном определении косинуса и зарыта большая часть доказательства.

$\cos x $- абсцисса точки, получаемая поворотом точки $(1;0)$ против часовой стрелки на угол $x$ вдоль окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Как это можно использовать?

[TOTAL]

integral2009 в сообщении #933303 писал(а):

$\cos x $- абсцисса точки, получаемая поворотом точки $(1;0)$ против часовой стрелки на угол $x$ вдоль окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Как это можно использовать?

Изменение аргумента - это дуга. А изменение значения косинуса - это проекция хорды, стягивающей эту дугу. Очевидно, проекция короче дуги.

[integral2009]

Согласен, только как это может помочь доказать непрерывность?

[provincialka]

Именно это и поможет. Ведь вам надо что показать? Что изменение косинуса будет невелико, если изменение дуги мало. Ну, а раз эти два изменения связаны друг с другом...

[integral2009]

provincialka в сообщении #933313 писал(а):

Именно это и поможет. Ведь вам надо что показать? Что изменение косинуса будет невелико, если изменение дуги мало. Ну, а раз эти два изменения связаны друг с другом...

Спасибо! Можно взять $\delta=\varepsilon $. А есть еще другой способ доказать?

[provincialka]

Смотря что считать "другим". Можно довести до ума прежнее рассуждение с произведением синусов. Хотя по сути все сведется к тому же.

[bot]

integral2009 в сообщении #933337 писал(а):

Можно взять $\delta=\varepsilon $. А есть еще другой способ доказать?

Можно - взять $\delta=\frac{\varepsilon}2. $

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #933220 писал(а):

Алексей К., у вас такое родилось в порыве вдохновенья, или вы это реально используете?

Реально, т.е. в жизни, я использую только те инструменты, с которыми работают люди на кухне. А там математики нет. Следов её нет. Когда на обед приходит в два раза больше народу, чем заказывали, шеф ставит в два раза больше стульев, и добывает в два раза больше вилок.
Но при этом он требует от нас почистить В ДВА РАЗА БОЛЬШЕ КАРТОШЕК! В два раза больше не по весу , а по $n$ (как написать "принадлежит натуральным" я не помню, ибо не пользуюсь). Коллеги прислушиваются к моим доводам, и мы чистим всего лишь в полтора раза больше. Но всё равно --- в суп попадает в [сосчитайте сами] раз больше картошки, чем принято и ожидалось!
Суп становится гов кашей, перед подачей его срочно разбавляют кипятком с бульонными кубиками, итд).
И главное --- что этот козёл-блин-менеджер ничему не учится!
Это повторяется каждый раз!
Он не может в это поверить!
Говорит, что в аттестате у него четвёрка по какой-то там математике.

Я сто раз видел-писал вместо "не равно" \not=.
Думаю, вместо "не a" написал бы "\not a", вместо "не меньше" написал "\not меньше", без каких-либо вдохновений или озарений.

g______d в сообщении #933225 писал(а):

Маленькая поправка: по-моему, речь всё-таки шла о $\sin (x)$, а не о $\sin(x^{\circ})$.

Видимо, я пытался пошутить, но шутку, очевидно, плохо отфрезеровал.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Ой, какую ерунду написал в предыдущем посте! Сбили с толку наши недавние споры с менеджером про картошку размером 10 и картошку размером 20!
А удалить сообщение почему-то не получается... Новая жизнь какая-то...

[bot]

bot в сообщении #933353 писал(а):

Можно

Если без шуток, то просто в лоб. Что нам нужно? А нужно по заданному $\varepsilon>0$ отыскать $\delta>0$ чтоб была верна импликация

$$|x-x_0|< \delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon $$

Теперь перепишем это в эквивалентной форме

$$(x_0-\delta, x_0+\delta)\subseteq \{x\ :\ |f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \},$$

то есть в множестве решений неравенства $|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$ надо отыскать интервал, симметричный относительно точки $x_0$.
В некоторых случаях, такое неравенство без труда решается (а данный случай таков) и можно найти максимально возможное $\delta$.
Однако определение гуманно - оно не требует нахождения всех решений неравенства, достаточно найти такую его часть, в которой нужный интервал гарантированно найдётся, то есть $|f(x)-f(x_0|$ можно мажорировать сверху какой-нибудь функцией, сохраняя возможность сделать мажоранту меньше $\varepsilon$. Обычно этот путь технически проще, а потому предпочтительнее.