Доказать очевидное. Непрерывность косинуса.

[integral2009]

Как доказать, что $f(x)=\cos x$ непрерывна на интервале $(0;\frac{\pi}{2})$

Если поточечно, то для любого $x_0\in (0;\frac{\pi}{2})$ выполняется $\lim\limits_{x\to x_0}\cos x=\cos x_0$.
Можно на языке $\varepsilon-\delta$ расписать, но общем случае зависимость $\delta(\varepsilon)$ для для любого $x$ из нужного интервала написать мне не удалось.
Но это же пока что никакое не доказательство.

Может здесь следует использовать какой-то другой поход?

Для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ такое, что для всех аргументов $x$, удовлетворяющих условию $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$, выполняется неравенство $\left| \cos x \left( x \right) - \cos x_0 \right| < \varepsilon$

$\cos x_0-\varepsilon <x<\cos x_0+\varepsilon $

$\arccos(\cos x_0+\varepsilon)<x<\arccos(\cos x_0-\varepsilon)$

С другой стороны $x_0-\delta<x<x_0+\delta$

А из каких соображений теперь выбирать $\delta(\varepsilon)$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

integral2009 в сообщении #932841 писал(а):

Можно на языке $\varepsilon-\delta$ расписать, но общем случае зависимость $\delta(\varepsilon)$ для для любого $x$ из нужного интервала написать мне не удалось.

Нужно. Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Cash]

формула разности косинусов и неравенство $\sin x < x$ Вам в помощь.

[gris]

Тут надо знать, из чего исходить. Как определён косинус, какие свойста функции и формулы предполагаются известными. Арккосинус тут исползовать некорректно. Скорее надо расписать выражения с дельтой с помощью формул косинуса суммы, разности и тому подобных. Воспользоваться ограниченностью синуса и косинуса. Конечно, можно сделать очевидное предположение насчёт дельты, посмотрев на график Но доказать всё строго.

[integral2009]

Спасибо. А как тут завязан $\varepsilon$?

$2|\sin(\frac{x+x_0}{2})\sin(\frac{x-x_0}{2})|<\varepsilon$

$2|\sin(\frac{x+x_0}{2})\sin(\frac{x-x_0}{2})|<\frac{x^2-x_0^2}{2}$

Но мы ведь не можем утверждать, что $\frac{x^2-x_0^2}{2}<\varepsilon$?

[provincialka]

Нет, для синуса суммы не надо использовать эту оценку. Более простую: синус меньше 1. Она и точнее может оказаться!

[Nemiroff]

integral2009 в сообщении #933001 писал(а):

Но мы ведь не можем утверждать, что $\frac{x^2-x_0^2}{2}<\varepsilon$?

Вам не нужно сравнивать с эпсилон. Вам нужно сравнивать с разностью аргументов.

[Алексей К.]

Cash в сообщении #932974 писал(а):

формула разности косинусов и неравенство $\sin x < x$ Вам в помощь.

Чо-то я не врубаюсь в это неравенство.
Согласен, $\sin30^\circ=\dfrac12<30$.
Но $\sin(-30^\circ)=-\dfrac12\not<{-30}$.

[provincialka]

Алексей К., да, конечно, там модуля не хватает. Что бы мы без вас делали!

[Алексей К.]

Ну, чем могу --- буду стараться помогать... (Если не шутите)

[ewert]

integral2009 в сообщении #932841 писал(а):

Для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ такое, что для всех аргументов $x$, удовлетворяющих условию $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$, выполняется неравенство $\left| \cos x \left( x \right) - \cos x_0 \right| < \varepsilon$

Это невозможно доказать просто потому, что про $x_0$ решительно ничего не сказано. Т.е. попросту нечего доказывать. Вы бы хоть определились, какое в точности утверждение Вас интересует.

[integral2009]

Точно, в условии еще $x \in (0;\frac\pi2)$ но пока что не ясно все равно как сравнивать с делтаокрестностью

[Aritaborian]

Алексей К. в сообщении #933043 писал(а):

Но $\sin(-30^\circ)=-\dfrac12\not<{-30}$.

$\not<$ — это шедевр. Алексей К., у вас такое родилось в порыве вдохновенья, или вы это реально используете?

[g______d]

Алексей К. в сообщении #933043 писал(а):

Согласен, $\sin30^\circ=\dfrac12<30$.
Но $\sin(-30^\circ)=-\dfrac12\not<{-30}$.

Маленькая поправка: по-моему, речь всё-таки шла о $\sin (x)$, а не о $\sin(x^{\circ})$.

integral2009 в сообщении #932841 писал(а):

Как доказать, что $f(x)=\cos x$ непрерывна на интервале $(0;\frac{\pi}{2})$

Я думаю, надо воспользоваться определением $\cos x$. Выглядит как тролльский комментарий, наверное, но в точном определении косинуса и зарыта большая часть доказательства.