2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 15:29 


14/03/11
142
Образующие грассмановой алгебры $e_1,..,e_n$ со свойствами $e^2_i=0$, $e_ie_j=-e_je_i$
являются элементами векторного пространства.
Любая их сумма обладает теми же свойствами.

Помогите разобраться, к какому собственно множеству принадлежит операция произведения $e_ie_j$?
По идее, если алгебра ассоциативна, то к тому-же векторному пространству, что и $e_i$.
Однако, это не так, так как, например, $e_1e_2$ и $e_3e_4$
будут коммутировать, а не антикоммутировать и квадрат их суммы не равен нулю.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 17:06 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Source в сообщении #931297 писал(а):
Однако, это не так, так как, например, $e_1e_2$ и $e_3e_4$
будут коммутировать, а не антикоммутировать
И что плохого?

Source в сообщении #931297 писал(а):
Любая их сумма обладает теми же свойствами.
Что-то здесь не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 17:07 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Ну, видимо, алгебра образующими не исчерпывается. Сколько, интересно, там должно быть элементов?

-- 16.11.2014, 01:08 --

Ах да, $2^n$. Это максимум.

-- 16.11.2014, 01:09 --

И ещё $0$ и $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 17:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Source в сообщении #931297 писал(а):
Помогите разобраться, к какому собственно множеству принадлежит операция произведения $e_ie_j$?
По идее, если алгебра ассоциативна, то к тому-же векторному пространству, что и $e_i$.
(Операция произведения — это несколько другое. Это та самая функция, которая превращает $(e_i, e_j)$ в произведение $e_ie_j$.) Если точнее, к линейной оболочке $\langle e_1,\ldots,e_4\rangle$ (чтобы было не уже и не шире). И в определение грассмановой алгебры не входит требования, чтобы любая пара элементов антикоммутировала.

iifat в сообщении #931342 писал(а):
Ах да, $2^n$. Это максимум.

-- 16.11.2014, 01:09 --

И ещё $0$ и $1$.
Количество элементов ведь зависит от векторного пространства. Если оно над бесконечным полем типа вещественных чисел — то и алгебра имеет бесконечное число элементов. А вот размерность у неё будет как раз $2^{\dim V}$. (Про поля характеристики 2 только не помню.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 17:50 


14/03/11
142
Я сформулирую вопрос по другому.

Элементы грассмановой алгебры $\mathcal{G}$ образуют векторное пространство размерности $2^n$.
Каждый его элемент представим в виде:
$$ f = f^{0} + \sum_{i} f^{(1)}_i e_i + \sum_{i<j} f^{(2)}_{ij} e_i e_j + ... + f^{(n)} e_1 e_2...e_n.$$
Понятно, что для него свойство $f^2=0$ в общем случае не выполняется
и справедливо только для образующих $e_1, e_2,...,e_n$ (и разложений по произведениям с нечётным числом множителей).
Понятно, также как работать с суммой и произведением двух элементов $f,g\in\mathcal{G}$,
учитывая свойства $e_ie_j=-e_je_i$.

Однако, в определении $f$ уже стоят произведения элементов $e_i$.
В алгебре, если $e_i\in \mathcal{V}$, то алгебраическое произведение, это отображение $\mathcal{V}\times\mathcal{V}\mapsto\mathcal{V}$.

Перед определением грассмановой алгебры $\mathcal{G}$ надо определить смысл произведений $e_ie_j$,
т.е. задать соответствующее множество и отображение.

Поэтому, вопрос состоит в том какое отображение подразумевается, когда мы пишем $e_ie_j$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
При такой формулировке подразумевается, что мы берем некоторый базис $e_1,\dots,e_n$, составляем чисто символически элементы $e_{i_1}e_{i_2}\dots e_{i_k}$. Это просто символы, не имеющие пока смысла произведения. А потом вводим произведение так, что символы $e_{i_1}e_{i_2}\dots e_{i_k}$ действительно становятся произведениями элементов базиса исходного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Source в сообщении #931366 писал(а):
Перед определением грассмановой алгебры $\mathcal{G}$ надо определить смысл произведений $e_ie_j$,
т.е. задать соответствующее множество и отображение.

Не надо перед. Это делается одновременно.

Грассманова алгебра - это "слоёная" штука (градуированная алгебра), то есть, она состоит из "слоёв, этажей", представляющих собой обычные векторные пространства. 0-й этаж - это просто числа, 1-й этаж - это обычное векторное пространство с базисом $e_1,\dots,e_n.$ Второй этаж - векторное пространство с базисом из $n(n-1)/2$ векторов. Как их назвать? Назовём их $e_ie_j.$ Вот и всё. Дальше скажем, что для двух векторов из 1-го этажа определено произведение, которое формально записывается как $v_1v_2=(c_{11}e_1+\ldots)(c_{21}e_1+\ldots)=p_{12}e_1e_2+\ldots.$ (при этом, $e_ie_j=-e_je_i$) Оказывается, задания этой формулы достаточно. Потом так же строим все остальные этажи, до $n$-го, и так же определяем все произведения между всеми возможными базисными векторами. А что делать, если какой-то вектор - линейная комбинация базисных с разных этажей? А ничего особенного, воспринимать его просто как линейную комбинацию, формальную сумму. Это позволяет доопределить произведение для любых двух элементов алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение15.11.2014, 20:15 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Кстати, внешняя алгебра $\Lambda(V)$ изоморфна $T(V)/\langle v\otimes v \rangle$, так кому-то может быть понятнее(?) Мы отождествляем тензоры, отличающиеся на слагаемые вида $v\otimes v$. Например, отождествляем $e_1\otimes e_1$ и $0$, $e_1\otimes e_2 + e_2\otimes e_1 = (e_1+e_2)^{\otimes2} - e_1^{\otimes2} - e_2^{\otimes2}$ и $0$ — и получаем соотношения для 1-векторов алгебры из «нормального» определения.

[Сокращение $x^{\otimes2}\equiv x\otimes x$.]

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение16.11.2014, 22:08 


14/03/11
142
Спасибо всем.
Подсуммирую то, как я это понял.

Мы рассматриваем векторное пространство $\mathcal{G}$ размерности $2^n$.
Базисом этого пространства являются векторы: $1,~e_i,~e_ie_j,~ e_ie_je_k,~...,~e_1e_2...e_n$ ($i<j<k...=1..n$).
До введения алгебры символ, например $e_1e_2$, является лишь обозначением одного из базисных векторов.

Грассманову алгебру $\mathcal{G}\times\mathcal{G}\mapsto \mathcal{G}$ мы задаём, определяя результаты всех возможных произведений базисных векторов.
Например:
$e_1\cdot e_2=e_1e_2$,
$e_1\cdot (e_2 e_3)= e_1e_2e_3$.

Для сокращения описания всех этих правил мы принимаем формально, что базисный вектор,
который ранее записывался как $e_1e_2e_3...$,
можно получить, перемножая образующие: $e_1\cdot e_2\cdot e_3...$ (векторы "1-го этажа"), причём $e_i\cdot e_j=-e_j\cdot e_i$.

Сами по себе образующие $e_1,e_2,...,e_n$ образуют векторное подпространство пространства $\mathcal{G}$,
но на этом подпространстве определить грассманову подалгебру нельзя, так как произведение $e_i\cdot e_j$
даёт вектор $e_1e_2$ не принадлежащий этому подпространству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение16.11.2014, 22:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Всё так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Грассманова алгебра
Сообщение17.11.2014, 09:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
+1.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group