Я сформулирую вопрос по другому.
Элементы грассмановой алгебры

образуют векторное пространство размерности

.
Каждый его элемент представим в виде:

Понятно, что для него свойство

в общем случае не выполняется
и справедливо только для образующих

(и разложений по произведениям с нечётным числом множителей).
Понятно, также как работать с суммой и произведением двух элементов

,
учитывая свойства

.
Однако, в определении

уже стоят произведения элементов

.
В алгебре, если

, то алгебраическое произведение, это отображение

.
Перед определением грассмановой алгебры

надо определить смысл произведений

,
т.е. задать соответствующее множество и отображение.
Поэтому, вопрос состоит в том какое отображение подразумевается, когда мы пишем

?