Грассманова алгебра

[Source]

Образующие грассмановой алгебры $e_1,..,e_n$ со свойствами $e^2_i=0$, $e_ie_j=-e_je_i$
являются элементами векторного пространства.
Любая их сумма обладает теми же свойствами.

Помогите разобраться, к какому собственно множеству принадлежит операция произведения $e_ie_j$?
По идее, если алгебра ассоциативна, то к тому-же векторному пространству, что и $e_i$.
Однако, это не так, так как, например, $e_1e_2$ и $e_3e_4$
будут коммутировать, а не антикоммутировать и квадрат их суммы не равен нулю.

Спасибо.

[arseniiv]

Source в сообщении #931297 писал(а):

Однако, это не так, так как, например, $e_1e_2$ и $e_3e_4$
будут коммутировать, а не антикоммутировать

И что плохого?

Source в сообщении #931297 писал(а):

Любая их сумма обладает теми же свойствами.

Что-то здесь не так.

[iifat]

Ну, видимо, алгебра образующими не исчерпывается. Сколько, интересно, там должно быть элементов?

-- 16.11.2014, 01:08 --

Ах да, $2^n$. Это максимум.

-- 16.11.2014, 01:09 --

И ещё $0$ и $1$.

[arseniiv]

Source в сообщении #931297 писал(а):

Помогите разобраться, к какому собственно множеству принадлежит операция произведения $e_ie_j$?
По идее, если алгебра ассоциативна, то к тому-же векторному пространству, что и $e_i$.

(Операция произведения — это несколько другое. Это та самая функция, которая превращает $(e_i, e_j)$ в произведение $e_ie_j$.) Если точнее, к линейной оболочке $\langle e_1,\ldots,e_4\rangle$ (чтобы было не уже и не шире). И в определение грассмановой алгебры не входит требования, чтобы любая пара элементов антикоммутировала.

iifat в сообщении #931342 писал(а):

Ах да, $2^n$. Это максимум.

-- 16.11.2014, 01:09 --

И ещё $0$ и $1$.

Количество элементов ведь зависит от векторного пространства. Если оно над бесконечным полем типа вещественных чисел — то и алгебра имеет бесконечное число элементов. А вот размерность у неё будет как раз $2^{\dim V}$. (Про поля характеристики 2 только не помню.)

[Source]

Я сформулирую вопрос по другому.

Элементы грассмановой алгебры $\mathcal{G}$ образуют векторное пространство размерности $2^n$.
Каждый его элемент представим в виде:

$$ f = f^{0} + \sum_{i} f^{(1)}_i e_i + \sum_{i<j} f^{(2)}_{ij} e_i e_j + ... + f^{(n)} e_1 e_2...e_n.$$

Понятно, что для него свойство $f^2=0$ в общем случае не выполняется
и справедливо только для образующих $e_1, e_2,...,e_n$ (и разложений по произведениям с нечётным числом множителей).
Понятно, также как работать с суммой и произведением двух элементов $f,g\in\mathcal{G}$,
учитывая свойства $e_ie_j=-e_je_i$.

Однако, в определении $f$ уже стоят произведения элементов $e_i$.
В алгебре, если $e_i\in \mathcal{V}$, то алгебраическое произведение, это отображение $\mathcal{V}\times\mathcal{V}\mapsto\mathcal{V}$.

Перед определением грассмановой алгебры $\mathcal{G}$ надо определить смысл произведений $e_ie_j$,
т.е. задать соответствующее множество и отображение.

Поэтому, вопрос состоит в том какое отображение подразумевается, когда мы пишем $e_ie_j$?

[Xaositect]

При такой формулировке подразумевается, что мы берем некоторый базис $e_1,\dots,e_n$, составляем чисто символически элементы $e_{i_1}e_{i_2}\dots e_{i_k}$. Это просто символы, не имеющие пока смысла произведения. А потом вводим произведение так, что символы $e_{i_1}e_{i_2}\dots e_{i_k}$ действительно становятся произведениями элементов базиса исходного пространства.

[Munin]

Source в сообщении #931366 писал(а):

Перед определением грассмановой алгебры $\mathcal{G}$ надо определить смысл произведений $e_ie_j$,
т.е. задать соответствующее множество и отображение.

Не надо перед. Это делается одновременно.

Грассманова алгебра - это "слоёная" штука (градуированная алгебра), то есть, она состоит из "слоёв, этажей", представляющих собой обычные векторные пространства. 0-й этаж - это просто числа, 1-й этаж - это обычное векторное пространство с базисом $e_1,\dots,e_n.$ Второй этаж - векторное пространство с базисом из $n(n-1)/2$ векторов. Как их назвать? Назовём их $e_ie_j.$ Вот и всё. Дальше скажем, что для двух векторов из 1-го этажа определено произведение, которое формально записывается как $v_1v_2=(c_{11}e_1+\ldots)(c_{21}e_1+\ldots)=p_{12}e_1e_2+\ldots.$ (при этом, $e_ie_j=-e_je_i$) Оказывается, задания этой формулы достаточно. Потом так же строим все остальные этажи, до $n$-го, и так же определяем все произведения между всеми возможными базисными векторами. А что делать, если какой-то вектор - линейная комбинация базисных с разных этажей? А ничего особенного, воспринимать его просто как линейную комбинацию, формальную сумму. Это позволяет доопределить произведение для любых двух элементов алгебры.

[arseniiv]

Кстати, внешняя алгебра $\Lambda(V)$ изоморфна $T(V)/\langle v\otimes v \rangle$, так кому-то может быть понятнее(?) Мы отождествляем тензоры, отличающиеся на слагаемые вида $v\otimes v$. Например, отождествляем $e_1\otimes e_1$ и $0$, $e_1\otimes e_2 + e_2\otimes e_1 = (e_1+e_2)^{\otimes2} - e_1^{\otimes2} - e_2^{\otimes2}$ и $0$ — и получаем соотношения для 1-векторов алгебры из «нормального» определения.

[Сокращение $x^{\otimes2}\equiv x\otimes x$.]

[Source]

Спасибо всем.
Подсуммирую то, как я это понял.

Мы рассматриваем векторное пространство $\mathcal{G}$ размерности $2^n$.
Базисом этого пространства являются векторы: $1,~e_i,~e_ie_j,~ e_ie_je_k,~...,~e_1e_2...e_n$ ($i<j<k...=1..n$).
До введения алгебры символ, например $e_1e_2$, является лишь обозначением одного из базисных векторов.

Грассманову алгебру $\mathcal{G}\times\mathcal{G}\mapsto \mathcal{G}$ мы задаём, определяя результаты всех возможных произведений базисных векторов.
Например:
$e_1\cdot e_2=e_1e_2$,
$e_1\cdot (e_2 e_3)= e_1e_2e_3$.

Для сокращения описания всех этих правил мы принимаем формально, что базисный вектор,
который ранее записывался как $e_1e_2e_3...$,
можно получить, перемножая образующие: $e_1\cdot e_2\cdot e_3...$ (векторы "1-го этажа"), причём $e_i\cdot e_j=-e_j\cdot e_i$.

Сами по себе образующие $e_1,e_2,...,e_n$ образуют векторное подпространство пространства $\mathcal{G}$,
но на этом подпространстве определить грассманову подалгебру нельзя, так как произведение $e_i\cdot e_j$
даёт вектор $e_1e_2$ не принадлежащий этому подпространству.

[arseniiv]

Всё так.

[Munin]

+1.