Теория Вероятностей(Мат. Ожидание)

[tazdraperm]

Здравствуйте!
Такая задача: Точки А, B, C независимы и равномерно распределены на окружности радиуса 1. Найти среднее значение площади и периметра треугольника ABC, а так же радиуса вписанного в него круга.
Что я понял сам: каждую точку можно характеризовать некоторым углом, таким, что координаты точки будут ($\cos\alpha, \sin\alpha)$. Так же логично предположить, что одну из точек можно фиксировать(например углом 0) и работать уже с двумя оставшимися случайными величинами. Также я выразил периметр треугольника через эти углы. $P=\sqrt{2-2\cos(\alpha-\beta)}+\sqrt{2-2\cos(\beta-\gamma)}+\sqrt{2-2\cos(\gamma-\alpha)}$, где один угол фиксирован, а два других случайные. Но как найти плотность распределения такого периметра зависящего от двух случайных углов?

[provincialka]

Корни извлекаются, если перейти к половинным углам.

[tazdraperm]

Да, верно, получается $2(\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\beta-\gamma}{2})+\sin(\frac{\gamma-\alpha}{2}))$. Но что с этим дальше делать, я все равно не представляю.

[provincialka]

tazdraperm, не совсем так. Там еще модули нужно поставить: сумма выписанных углов равна 0, так что один-два синуса будут отрицательными.
Что дальше делать - давайте подождем сведущих людей.

(Оффтоп)

Или хотя бы дождемся конца шоу "Театр эстрады", я его смотрю на второй половине экрана

[--mS--]

А зачем искать плотность распределения? Вот, скажем, как бы Вы вычисляли математическое ожидание величины $X e^X$, зная распределение $X$? Тоже плотность искали бы? Ну и второй вопрос: зачем три угла, если один из них можно взять нулевым?

[tazdraperm]

1)Но ведь мат. ожидание есть $\int xf(x)dx$, где f - функция плотности. Или же его еще как-то можно посчитать?
2)Да, я уже написал, что одну из трех величин можно фиксировать, например, нулём.

[--mS--]

Хорошо, читать учебник или хотя бы википедию Вы не хотите. Вернее, это, конечно, плохо, а не хорошо, но не хотите. А чтобы найти второй момент $\mathsf EX^2$, Вы тоже будете искать распределение $X^2$, или умеете это делать как-то иначе?

[tazdraperm]

Вот неправда, формулы на википедии я смотрел. Просто эта формула с плотностью вероятности мне показалась наиболее подходящей, но, судя по всему, я ошибся.
М=$\int x(\omega)P(d\omega)$ по всему пространству событий - основная формула мат ожидания.
М=$\int xdF(x)$ выражения через функцию распределения.
Поправьте меня, если я что-то не так говорю.

[provincialka]

Хм, неужели ничего другого нет? А вот подумайте, о какой величине(величинах) вы все знаете, и связана ли с ними искомая?

(Оффтоп)

В Вики на странице "Математическое ожидание" странный заголовок: "Математическое ожидание преобразования случайной величины". На мой взгляд, не совсем по-русски

[ИСН]

Формулы на википедии не надо смотреть было. Отсмотрите назад. Да, эта формула наиболее подходящая, но сами видите, она не годится.

-- менее минуты назад --

Ну действительно, как это:

--mS-- в сообщении #932069 писал(а):

А чтобы найти второй момент $\mathsf EX^2$, Вы тоже будете искать распределение $X^2$, или умеете это делать как-то иначе?

[tazdraperm]

Ну, я могу попробовать найти распределение случайных углов $\alpha, \beta$ и плотность такого распределения. А потом подставить в замечательную формулу $M(g)=\int g fdx$, где g - моя функция периметра треугольника через синусы углов, которую я писал выше, а f - плотность распределения случайного угла. Но только тут две случайные величины.. Видимо придется брать как-то так: $(\gamma=0), M(g(\alpha,\beta))=\int\int g(\alpha,\beta)f(\alpha)f(\beta)d\alpha d\beta$
Я в правильном направлении мыслю?

[ИСН]

Вот теперь - да!

-- менее минуты назад --

Ну-с, и каково же распределение случайных углов?

[tazdraperm]

Ну, поскольку эти величины распределены равномерно на $[0, 2\pi]$, то плотность их распределения, которая и нужна мне в формуле будет равна $\frac{1}{2\pi}$.
Я тут сижу пытаюсь осознать, как мне правильно раскрыть модули синусов. Видимо, придется как-то разбивать интегралы на несколько и брать разные знаки на разных промежутках.

[provincialka]

А вы уже свели все к двум углам? Если да, то останется, собственно, проверить знак только одного угла, третьего. То есть два случая. Но они симметричны, так что можно находить интеграл только по одной половине области,

[tazdraperm]

Вы имеете ввиду свернуть по формуле суммы синусов?

UPD: В общем, у меня вышло $\frac{2}{\pi}$ мат ожидание для периметра треугольника, не знаю, правильно ли