Дифференциальное уравнение, неразрешимое относительно произв

[Nurzery[Rhymes]]

Возникли трудности с этой темой, поэтому я взялся решать уравнения такого типа, но с первым же не смог справиться. Вот условие:

$x(y')^2 = y - y'$

1. Я попытался рассмотреть это уравнение как квадратное относительно производной:
Пусть $y' = p$, тогда $xp^2 + p - y =o$
$D=1 - 4x(-y) = 4xy + 1$
$p=\frac{-1\pm\sqrt{4xy+1}}{2x}$
Получилось отвратительное выражение производной, которое непонятно как интегрировать.

2. Попытался ввести параметр $y' = p$.
Тогда

$$\frac{dy}{dx}=p, dy = pdx$$

Из исходного уравнения выражаю y: $y=xp^2+p$
Я хочу найти из этого выражения $dy$, чтобы приравнять его к $pdx = dy$:
$dy=d(xp^2+p)=d(xp^2)+d(p)=dxp^2+x\cdot2pdp+dp$
Возвращаюсь к обозначению $dy=pdx$ из начала:
$pdx=dxp^2+x\cdot2pdp+dp$
И тут я понял, что не могу решать дальше, потому что ничего не сокращается и вообще непонятно, как решать эту жуть. Что я делаю не так?

[Ms-dos4]

Это уравнение Лагранжа
Итак, вы получили $\[y = x{p^2} + p\]$
После дифференцирования по $\[x\]$
$\[p = (2px + 1)\frac{{dp}}{{dx}} + {p^2}\]$
Отсюда очевидно, что решением будут такие $\[p = \alpha = {\rm{const}}\]$, что $\[\alpha - {\alpha ^2} = 0\]$. Добивайте этот случай. Теперь вернёмся к общему решению. Ищите функцию не в виде $\[p(x)\]$, а в виде $\[x(p)\]$, на которую получается уравнение $\[\frac{{dx}}{{dp}} = \frac{{2px + 1}}{{p - {p^2}}}\]$ (а это ЛДУ).

[Nurzery[Rhymes]]

Ясно, я даже метод введения параметра плохо понял, а мне попалось уравнение Лагранжа. Я там дифференциал $d(xp^2+p)$ верно раскрыл? Считал $p$ функцией, а не параметров, потому что p функцией и является. Начал сомневаться в том, что $p$ надо считать функцией, а не константой.

[Ms-dos4]

Ну да, верно. У вас вышло$ \[dy = {p^2}dx + 2xpdp + dp\]$, делите на $\[dx\]$ и получаете $\[p = {p^2} + 2xpp' + p'\]$, ровно то же уравнение что и у меня.
P.S. $\[p\]$ хоть и называется параметром, но вообще конечно же является функцией а не числом (за исключением особого решения - см. выше), ну вы сами посмотрите как её вводят, $\[p = y'\]$, разве правая часть не функция?

[Nurzery[Rhymes]]

Ms-dos4 в сообщении #931557 писал(а):

После дифференцирования по $\[x\]$
$\[p = (2px + 1)\frac{{dp}}{{dx}} + {p^2}\]$
Отсюда очевидно, что решением будут такие $\[p = \alpha = {\rm{const}}\]$, что $\[\alpha - {\alpha ^2} = 0\]$.

Откуда это видно? Выписал это уравнение на бумагу и попытался решить, но не могу определить его тип. Должно получится уравнение с разделяющимися переменными вроде бы, но это ведь не оно?

И еще, по каким переменным надо дифференцировать? У меня в книжке есть такой пример:
$y=2xp+ln p$
Дифференцируя, находим: $pdx=2pdx+2xdp+\frac{dp}{p}$
Почему в последнем слагаемом получили $\frac{dp}{p}$? Мы же, вроде бы, дифференцируем по $x$, а там получилось по $p$.

[Otta]

Следующий ход ясен?

Ms-dos4 в сообщении #931557 писал(а):

Теперь вернёмся к общему решению. Ищите функцию не в виде $\[p(x)\]$, а в виде $\[x(p)\]$, на которую получается уравнение $\[\frac{{dx}}{{dp}} = \frac{{2px + 1}}{{p - {p^2}}}\]$ (а это ЛДУ).

Так вот перед тем, как загонять $p-p^2$ в знаменатель, нужно посмотреть (как и в любом другом уравнении), не теряем ли мы при этом решения. Как посмотреть?

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #931576 писал(а):

Следующий ход ясен?

Ms-dos4 в сообщении #931557 писал(а):

Теперь вернёмся к общему решению. Ищите функцию не в виде $\[p(x)\]$, а в виде $\[x(p)\]$, на которую получается уравнение $\[\frac{{dx}}{{dp}} = \frac{{2px + 1}}{{p - {p^2}}}\]$ (а это ЛДУ).

Так вот перед тем, как загонять $p-p^2$ в знаменатель, нужно посмотреть (как и в любом другом уравнении), не теряем ли мы при этом решения. Как посмотреть?

Не совсем ясно. Я понял, что мы проверили, не потеряны ли еще какие-то решения как в более простых уравнениях. Но зачем загонять $p-p^2$ в знаменатель? Из того уравнения не видно, что это нужно сделать.

Ой, все, разобрался, просто спать хочу сильно. Перенесли в одну часть и разделили, чтобы выразить производную. Так?

[Otta]

А какие еще есть идеи? решать относительно $p$ вот это?

Ms-dos4 в сообщении #931557 писал(а):

$\[p = (2px + 1)\frac{{dp}}{{dx}} + {p^2}\]$

Так оно нелинейно по $p$ и не хочет решаться. Надо решать то, что мы умеем решать. Линейные мы решать умеем. А по $x$ эквивалентное ему

Ms-dos4 в сообщении #931557 писал(а):

$\[\frac{{dx}}{{dp}} = \frac{{2px + 1}}{{p - {p^2}}}\]$

(с учетом оговорок про знаменатель) уравнение линейно. Линейные мы умеем решать. И это хорошо. Но только оно не совсем эквивалентно (.... и вот тут идут оговорки про знаменатель).

-- 16.11.2014, 04:42 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #931577 писал(а):

Перенесли в одну часть и разделили, чтобы выразить производную. Так?

... наверное. Но только то хорошо, что хорошо кончается... подождем утра. :)

[Nurzery[Rhymes]]

Итак, мы ищем функцию в виде $x(p)$, поэтому мы перевернули дроби, и $p-p^2$ оказалось в знаменателе. Решаю такое уравнение:

$\frac{dx}{2px+1}=\frac{dp}{p-p^2}$

Правая часть интегрируется легко:
$\ln p - \ln(p-1) +\ln C$
А как интегрировать левую? Там мешает параметр.

Даже если рассматривать его как линейное по $p$, ничего не получается. Вот:

$\frac{dx}{dp} = \frac{2px+1}{p-p^2}$
$\frac{dx}{dp} = \frac{2px}{p-p^2} + \frac{1}{p-p^2}$
$\frac{dx}{dp}-\frac{2px}{p-p^2}=\frac{1}{p-p^2}$
Теперь оно стало похоже на общий вид линейного уравнения. Пробую решить методом вариации постоянной:

1) $\frac{dx}{dp}=\frac{2px}{p-p^2}$
Разделяю переменные, и снова мешает параметр:

$\frac{dx}{2px}=\frac{dp}{p-p^2}$

[Otta]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #931575 писал(а):

И еще, по каким переменным надо дифференцировать? У меня в книжке есть такой пример:
$y=2xp+\ln p$
Дифференцируя, находим: $pdx=2pdx+2xdp+\frac{dp}{p}$
Почему в последнем слагаемом получили $\frac{dp}{p}$? Мы же, вроде бы, дифференцируем по $x$, а там получилось по $p$.

Полный дифференциал левой совпадает с полным дифференциалом правой... не так важно для формальной записи, кто от кого зависит. (Даже если $p$ зависит от $x$, на $dp/p$ это не повлияет. Он останется равным $d \ln p$.)

Nurzery[Rhymes] в сообщении #931581 писал(а):

А как интегрировать левую? Там мешает параметр.

А зачем Вы пытаетесь решать его как уравнение с разделяющимися переменными? Они у Вас разделились? Перечитайте немножко все слова, что уже Вам сказали.

-- 16.11.2014, 04:59 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #931581 писал(а):

Разделяю переменные, и снова мешает параметр:
$\frac{dx}{2px}=\frac{dp}{p-p^2}$

Вы сперва разделите, а потом поговорим о том, что мешает.

[Nurzery[Rhymes]]

Кажется, я все понял, сначала невнимательность помешала. Это ж линейное по x уравнение, значит соответствующее ему однородное выглядит так:

$\frac{dx}{dp}-\frac{2p}{p-p^2}=0$

$dx=\frac{2p}{p-p^2}dp$
Интегрируя, получаем:

$x=-2\ln(p-1)$
А дальше применяем метод вариации постоянной.
На этот раз все верно?

[Otta]

:) Там же ж икс был, куда дели.

[Ms-dos4]

Однородным к $\[\frac{{dx}}{{dp}} = \frac{{2px + 1}}{{p - {p^2}}}\]$ будет уравнение $\[\frac{{dx}}{{dp}} - \frac{{2px}}{{p - {p^2}}} = 0\]$, но уж никак не то, что записали вы.

[Otta]

Ms-dos4

(Оффтоп)

Ну дайте уж человеку самому побарахтаться, ну всамделе ))

[Ms-dos4]

Otta

(Оффтоп)

Тут вообще кажется нужно не спасательный круг бросать, а учить плавать. В смысле отослать к нормальному курсу ДУ