График распределения электронной плотности атома водорода.

[AAA1111]

Munin в сообщении #929948 писал(а):

Но к мышечной боли вы привыкли, и даже, видимо, готовы принимать её с радостью. Вот это же надо воспитать в себе и по отношению к умственной.

Всё же есть существенная разница.
Мышечная усталость (иногда боль) от спортивных нагрузок компенсируется приливом позитивных эмоций, зарядом бодрости, хорошим настроением.
И я к этому не привыкал, всегда так было, с детства.
Не знаю почему так. Возможно человеческому организму это более естественно и привычно.
Сколько тысячелетий наш вид этим занимался (физическими нагрузками, бегал, прыгал, играл, тренировался, охотился, сражался)?
А сколько математикой такой сложной занимается?
За себя могу ответить, что из всех моих предков я такой первый.
Т.е. у моего генетического материала это первый подобный опыт за много тысячелетий.
Тут правда ещё можно затронуть вопрос о существовании души и её собственного опыта,
но боюсь меня на этом форуме за такое "шапками закидают."

P.S.: Спортом я уже давным давно не занимаюсь. Забросил ещё в юности. Как-то не до того. Подсел на умственную деятельность, правда не сразу естественнонаучную.

Munin в сообщении #929948 писал(а):

Предлагаю вам "собрать" окончательные формулы для трёх случаев:
- $n=1,\quad l=0,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $1s$;
- $n=2,\quad l=0,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $2s$;
- $n=2,\quad l=1,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $2p$ - конкретно вариант $2p_z,$ если вам это будет интересно.

Я так понимаю нужно просто подставить то, что насчитал вот в это выражение:

$\psi = N e^{-\frac{r}{n}} (\frac{2r}{n})^l L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n}) e^{im\varphi}P_l^m (\cos \theta)$

где $N$ это нормировка.
Верно?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #930025 писал(а):

Мышечная усталость (иногда боль) от спортивных нагрузок компенсируется приливом позитивных эмоций, зарядом бодрости, хорошим настроением.
И я к этому не привыкал, всегда так было, с детства.

Вот щас добьёте формулу, и будет вам прилив бодрости и хорошего настроения.

AAA1111 в сообщении #930025 писал(а):

Я так понимаю нужно просто подставить то, что насчитал вот в это выражение:

$\psi = N e^{-\frac{r}{n}} (\frac{2r}{n})^l L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n}) e^{im\varphi}P_l^m (\cos \theta)$

где $N$ это нормировка.
Верно?

Да.

[AAA1111]

Munin в сообщении #929948 писал(а):

$n=1,\quad l=0,\quad m=0$ - это квантовое состояние, в химии известное как орбиталь $1s$;

Какую производную подставлять вместо $L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n})$
?

Не могу выбрать из двух вариантов:

1.
$ L_{n+l}^{2l+1} = L_{1}^{1}$

$1-1 = 0$
нулевая производная.

2.
Посчитанное для (d.13),
$ L_{n}^{l} = L_{1}^{0}$

$1-0 = 1$
первая производная.

[Munin]

Ну $n=1,\quad l=0,\quad m=0$ - это и надо подставить в индексы. Считаем верхний индекс:
$2l+1=2\cdot 0+1=1.$
Нижний:
$n+l=1+0=1.$
Так что, вам нужно $L_1^1.$

[AAA1111]

Для $n=1, l=0, m=0$ получаем:

$P_l^m (\cos \theta) = P_0^0 (\cos \theta) = ((\cos \theta)^2 - 1)^0 = 1$

$L_n^l (z) = L_1^1 (z) = e^{-z}z^1 = e^{-z}z$

$e^{im\varphi} = 1$

$(\frac{2r}{n})^l = 1$

$\psi = N e^{-\frac{r}{n}} (\frac{2r}{n})^l L_{n+l}^{2l+1} (\frac{2r}{n}) e^{im\varphi}P_l^m (\cos \theta) = N e^{-\frac{r}{n}}e^{-z}z$

Здесь $z = \frac{2r}{n}$
?

Если да, то дальше:

$\psi = N e^{-\frac{r}{n}}e^{-z}z = N e^{-\frac{r}{n}}e^{-\frac{2r}{n}}\frac{2r}{n} = N 2re^{-3r}$

Где ошибки?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #930509 писал(а):

$L_n^l (z) = L_1^1 (z) = e^{-z}z^1 = e^{-z}z$

Вот здесь, вы просто взяли подсчитанную производную, а функция $L_n^m(z)$ - это не просто производная, а ещё и некоторый множитель перед ней. Он не чистая нормировка (число), там и функциональная зависимость есть.

С $P_l^m(\cos\theta),$ боюсь, та же ошибка, просто она здесь не сыграла роли.

Остальное верно, но придётся вам всё-таки проделать этот шажок заново сначала: если в выкладках ошибка в начале, то приходится переделывать всё с места ошибки и до конца.

Ещё рекомендация: сначала возьмите отдельную формулу типа $L_n^m(z),$ и подставьте в неё все те аргументы и параметры, которые в неё "загружаются" во внешнем выражении, и напишите, что получится, типа $L_{n+l}^{2l+1}(\tfrac{2r}{n})=\ldots$; и только потом этот полученный кусок вставляйте целиком во внешнее выражение. Если вы будете делать в обратном порядке, то смешаете в одном выражении куски, в которых одинаковые буквы имеют разные смыслы. Можно и не распутаться.

[AAA1111]

Munin в сообщении #930703 писал(а):

... придётся вам всё-таки проделать этот шажок заново ...

Мне непонятно в чём ошибка и как пересчитать по другому.

[Munin]

AAA1111 в сообщении #925067 писал(а):

(d.13)
$L_n^m (z) = (-1)^m \frac{(n|)^2}{m|(n-m)|} F(-(n-m), m+1, z) = \frac{n|}{(n-m)|} e^z \frac{d^n}{dz^n} e^{-z} z^{n-m} =$

$= (-1)^m \frac{n|}{(n-m)|} e^{z} z^{-m} \frac{d^{n-m}}{dz^{n-m}} e^{-z} z^n$

Подставляя случай $L_1^1(z),$ получаем:
$L_1^1(z)=(-1)^1\dfrac{1!}{(1-1)!}e^z z^{-1}\dfrac{d^{1-1}}{dz^{1-1}}e^{-z}z^1=(-1)e^z z^{-1}\dfrac{d^{0}}{dz^{0}}(e^{-z}z^1)=$
$=(-1)e^z z^{-1}(e^{-z}z^1)=(-1)e^z e^{-z}z^{-1}z^1=-1.$

Всё дело в том, что выражение для $L_n^m(z)$ имеет структуру
$L_n^m(z)=\left((-1)^m\dfrac{n!}{(n-m)!}e^z z^{-m}\right)\cdot\left(\dfrac{d^{n-m}}{dz^{n-m}}e^{-z}z^n\right),$
и вы сосредоточились на вычислении производной в правой скобке, правильно её посчитали, но забыли про левую скобку, и вообще не стали на неё умножать. По невнимательности и неопытности, видимо.

[AAA1111]

Теперь дошло до меня. Спасибо.

Munin в сообщении #931321 писал(а):

... вы сосредоточились на вычислении производной в правой скобке, правильно её посчитали, но забыли про левую скобку, и вообще не стали на неё умножать. По невнимательности и неопытности, видимо.

Просто я Ваше указание о:

Munin в сообщении #925221 писал(а):

Функции - это части выражения, которые зависят от $r,\theta,\varphi,$ а коэффициенты - не зависят от них, а вычисляются только из $n,l,m.$ Собственно, коэффициенты нам особенно и не нужны - они влияют только на общую нормировку волновой функции.

не только на основное выражение распространил. Ну и неопытность тоже...

Итого выходит:

$\psi = - Ne^{-r}$

?

[Munin]

AAA1111 в сообщении #931446 писал(а):

Просто я Ваше указание ...
не только на основное выражение распространил.

Оно касалось только тех коэффициентов, которые зависят только от $n,l,m$ - то есть, являются при вычислении просто числами, а не функциями.

AAA1111 в сообщении #931446 писал(а):

Итого выходит:
$\psi = - Ne^{-r}$
?

Да! Поздравляю! Вы вычислили волновую функцию в состоянии $1s$! И теперь можете анализировать её с точки зрения плотности.

Но само по себе это скучноватый результат, зато вы теперь точно так же можете вычислить $2s,2p,$ и в принципе дальше.

[AAA1111]

Munin в сообщении #931643 писал(а):

Да! Поздравляю! Вы вычислили волновую функцию в состоянии $1s$!

Ура-а-а!

Munin в сообщении #931643 писал(а):

И теперь можете анализировать её с точки зрения плотности.

А вот с этим проблемы. Как теперь перевести всё это в плотность не знаю.

Пока видно, что по модулю, с увеличением радиуса, значение уменьшается, а с уменьшением растёт.

[Munin]

AAA1111 в сообщении #931669 писал(а):

А вот с этим проблемы. Как теперь перевести всё это в плотность не знаю.

Всё очень просто. Плотность вероятности (в пространстве) - это квадрат модуля волновой функции.

Вот потом можно будет вспомнить про радиальную плотность, но её вы, кажется, уже представляете себе как считать.