Черные Дыры без "физической" сингулярности

[schekn]

$G_0^1=-G_1^0=-\frac{2\,\left( \frac{d}{d\,r}\,f\right) \,\left( \frac{d}{d\,t}\,h\right) -2\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,r\,d\,t}\,f\right) \,h}{f\,{h}^{3}}=0$

$f'(\psi)h'(\psi)=f''(\psi)h(\psi)$

${\psi}=r-t$

Получается после решения данного диф. уравнения :

$h=C_0f'(\psi)$

Далее :

$G_1^1=\frac{\left( 2\,f\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{t}^{2}}\,f\right) +{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}+1\right) \,C_0-1}{{f}^{2}\,C_0}=0$

$G_2^2=\frac{\left( \frac{d}{d\,r}\,f\right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{t}^{2}}\,f\right) +\left( \frac{{d}^{2}}{d\,r\,d\,t}\,f\right) \,\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) +f\,\left( \frac{{d}^{3}}{d\,r\,d\,{t}^{2}}\,f\right) }{f\,\left( \frac{d}{d\,r}\,f\right) }=0$

Пока все, далее надо подумать.

-- 07.11.2014, 22:06 --

Утундрий в сообщении #927951 писал(а):

Взбодритесь и вперёд за знаниями. Прыжками!

В отличие от Вас у меня другие дела есть.

-- 07.11.2014, 22:16 --

Утундрий в сообщении #927951 писал(а):

А вот возьму и не буду требовать доказательств этого вашего "этонетака"

Сначала докажите "этотак"

[Утундрий]

schekn в сообщении #927961 писал(а):

В отличие от Вас у меня другие дела есть.

А с чего вы взяли, что у меня нет других дел, кроме как с вами возиться? Но, однако же, вожусь. Впрочем, если вас это слишком уж утомляет, то прекратить могу в любой момент. Без возобновления в будущем.

schekn в сообщении #927961 писал(а):

Сначала докажите "этотак"

Доказывают состав преступления, а не его отсутствие

schekn в сообщении #927961 писал(а):

Пока все, далее надо подумать.

А это всё был коленный рефлекс? Ну, подумайте-подумайте, мне любопытны результаты. А чтоб не блуждали, вот вам вектор думанья: нужно снова вычислить $E$ (Уж простите, но я буду пользоваться своими обозначениями. Ибо, кто первый встал - того и тапки)

[Утундрий]

Пока ищете уравнение для $f$, порассуждаем о характере метрики. Как видно, $t$ всюду временная, а $r, \theta$ и $\varphi$ - всегда пространственные координаты. Геометрически $f$ это "радиус" 2-сферы $dr=dt=0$, определённый так, чтобы её площадь вычислялась по школьной формуле $4 \pi f^2$. Покоящиеся в нашей системе отсчёта наблюдатели пересекают линии уровня $f$ справа-налево. Без потери общности можно считать $f$ неотрицательной.

Теперь посмотрим на интервал

$$ds^2 = dt^2 - \left[ {af'\left( {r - t} \right)} \right]^2 dr^2 - f\left( {r - t} \right)^2 \left( {d\theta ^2 + \sin ^2 \theta d\varphi ^2 } \right)$$

Какое условие на $f$ выделяет внутренность чёрной дыры?

[schekn]

Итак в указанных обозначениях получили 2 уравнения:

$2\,{a}^{2}\,f\,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{t}^{2}}\,f\right) +{a}^{2}\,{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}+{a}^{2}-1=0 \quad(1)$

$\left( \frac{d}{d\,r}\,f\right) \,\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{t}^{2}}\,f\right) +\left( \frac{{d}^{2}}{d\,r\,d\,t}\,f\right) \,\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) +f\,\left( \frac{{d}^{3}}{d\,r\,d\,{t}^{2}}\,f\right)=0 \quad(2)$

Первый интеграл движения первого уравнения:

$\frac{d}{d\,t}\,f=-\sqrt{\frac{b}{f}+\frac{1}{{a}^{2}}-1}\quad(3)$

Знак минус поставил по аналогии с пар. 103 ЛЛ-2 , что означает сжимающуюся систему ( можно и плюс).
$b$ - постоянная, по-видимому имеет физический смысл.


Второе уравнение , как выясняется, тождественно выполняется.

Третье решается в зависимости от постоянной $a$ , $a=1$ - получается простой вид, напоминающий Леметра, $0<a<1$ - появляются арктангенсы, $a>1$ - гиперболические функции. Можно выписать явно.

Метрика в общем виде:

$ds^2=dt^2-a^2(b/f+1/a^2-1)dr^2-f^2(d{\theta}^2+\sin^2{\theta}d{\varphi}^2) $

Метрика напоминает внешнее решение в задаче коллапсирующей пыли, но пока не очень понятен смысл всего этого.
Вообще говоря, Вы делаете все наоборот. Обычно ставится физическая задача, выбирается координатная система, а здесь выписана метрика , а под нее подгоняется физическая задача.

$a<1$ :

$(\frac{{a}^{2}\,\left| a\right| \,b\,\mathrm{\arctg}\left( \frac{\sqrt{-\frac{\left( {a}^{2}-1\right) \,f-{a}^{2}\,b}{f}}}{\sqrt{{a}^{2}-1}}\right) +\sqrt{{a}^{2}-1}\,\left| a\right| \,f\,\sqrt{-\frac{\left( {a}^{2}-1\right) \,f-{a}^{2}\,b}{f}}}{{\left( {a}^{2}-1\right) }^{\frac{3}{2}}}=t+t_0)$
-- 08.11.2014, 23:05 --

Утундрий в сообщении #928220 писал(а):

Какое условие на $f$ выделяет внутренность чёрной дыры?

Не знаю, не вижу никакой черной дыры. Ну метрика вырождается при $f=0$ или $f,_{t}=0$

[Утундрий]

schekn в сообщении #928485 писал(а):

Вы делаете все наоборот. Обычно ставится физическая задача, выбирается координатная система, а здесь выписана метрика , а под нее подгоняется физическая задача.

Да без разницы с какой стороны устанавливать биекцию.

Выражение $(3)$ совпадает с моим (если под $t$ понимать аргумент $f$). Собственно, это уже решение.Точные формулы писать не особо интересно, достаточно предельных оценок на границах интервала изменения аргумента $f$.

schekn в сообщении #928485 писал(а):

не вижу никакой черной дыры.

Посмотрите там же, в Ландау-Лифшице, картинку со световыми конусами. Определите то множество событий из которых невозможно избежать падения в сингулярность - это и будет внутренность ЧД.

P.S. Осталось проанализировать все возможные типы решений д.у. $(3)$. Таковых насчитывается ровно пьять.

[schekn]

Утундрий в сообщении #928507 писал(а):

Выражение $(3)$ совпадает с моим (если под $t$ понимать аргумент $f$).

надо все таки заменить у меня $t$ на $ r-t$ .

[schekn]

Утундрий в сообщении #928507 писал(а):

P.S. Осталось проанализировать все возможные типы решений д.у. $(3)$. Таковых насчитывается ровно пьять.

Так я пока не понимаю смысла всего этого. Решений на вскидку 4 , при $b=0$ будем иметь Минковского. Еще три случая $a=1, a>1, a<1$

[Утундрий]

Вы с ЛЛ2 разобрались? Там как раз случай $a=1$. Если по нему вопросов нет, то остальные рассматриваются аналогично. Если же вопросы есть, то задавайте.

[schekn]

Утундрий в сообщении #929403 писал(а):

Если по нему вопросов нет, то остальные рассматриваются аналогично. Если же вопросы есть, то задавайте.

Ну если имеется в виду пар. 102, то да , очень похож. Ну а как это соотносится с темой?

[Утундрий]

schekn в сообщении #929406 писал(а):

как это соотносится с темой?

В итоге "это" должно наглядно показать вам всю нелепость первого сообщения темы. Это, так сказать, программа-максимум.

-- Пн ноя 10, 2014 23:11:54 --

В общем, сам перебор вариантов - чистое художество (в смысле малевания графиков). А вот что действительно понадобится для дальнейшего, так это нечто характеризующее кривизну. Предлагаю посчитать $R^{\alpha \beta \mu \nu } R_{\alpha \beta \mu \nu } $ для произвольной $f$.

[schekn]

Утундрий в сообщении #929407 писал(а):

В итоге "это" должно наглядно показать вам всю нелепость первого сообщения темы. Это, так сказать, программа-максимум.

Ссылка на пар 102 дает обратный эффект, потому , как там вводится метрика Леметра с помощью запрещенных преобразований координат, явное недоразумение .
Нелепости пока не вижу. Есть шаг вперед в понимании оригинальных объектов, под названием черные дыры.

Утундрий в сообщении #929407 писал(а):

В общем, сам перебор вариантов - чистое художество (в смысле малевания графиков). А вот что действительно понадобится для дальнейшего, так это нечто характеризующее кривизну. Предлагаю посчитать $R^{\alpha \beta \mu \nu } R_{\alpha \beta \mu \nu } $ для произвольной $f$.

Тут должно быть просто, но у меня формула получается уж больно громоздкая, там надо подумать , как упрщать.

[Утундрий]

schekn в сообщении #929432 писал(а):

Есть шаг вперед в понимании оригинальных объектов, под названием черные дыры.

Ну, ещё немного усилий и они будут казаться тривиальными. Главное, разберитесь со световыми конусами. Точнее: предположим, что некая сфера $f=const$ на мгновение вспыхнула. Куда излучится этот свет? Не получится ли так, что для некоторых $const$ от излучится только на сингулярность и никуда иначе? Каким условием выделяются такие $const$?

[schekn]

Утундрий в сообщении #929444 писал(а):

Ну, ещё немного усилий и они будут казаться тривиальными. Главное, разберитесь со световыми конусами. Точнее: предположим, что некая сфера $f=const$ на мгновение вспыхнула. Куда излучится этот свет? Не получится ли так, что для некоторых $const$ от излучится только на сингулярность и никуда иначе? Каким условием выделяются такие $const$?

Это я не понял. Я имел в виду , что на форуме защищается ортодоксальная точка зрения на черные дыры прошлого века. Я привел как пример более революционное решение Глинера.

Совершенно не понял откуда берется свет, Если он излучится , то надо смотреть световые конуса. Вполне возможно , что часть уйдет в место , где инвариант Римана ( или Кретчмана) будет обращаться в бесконечность. У меня пока он длинный.
$I=\frac{8\,{\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{t}^{2}}\,f\right) }^{2}}{{f}^{2}}+\frac{4\,\left( {a}^{2}\,{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}+{a}^{2}-1\right) \,\left( {a}^{2}\,{f}^{2}\,{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}+\left( {a}^{2}-1\right) \,{f}^{2}\right) }{{a}^{4}\,{f}^{6}}+\frac{8\,{\left( \frac{{d}^{2}}{d\,{t}^2}\,f\right) }^{2}\,{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}}{{f}^{2}\,{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}}+\frac{4\,{\left( \frac{{d}^{3}}{\,d\,{t}^{3}}\,f\right) }^{2}}{{\left( \frac{d}{d\,t}\,f\right) }^{2}}$

Световой конус определяется (если зафиксировать углы) $ds^2=0=dt^2-a^2(b/f+1/a^2-1)dr^2$

$dt/dr={\pm}a\sqrt{b/f+1/a^2-1}$

[Someone]

schekn в сообщении #929453 писал(а):

Совершенно не понял откуда берется свет, Если он излучится , то надо смотреть световые конуса.

Причём здесь свет? Световой конус ограничивает область возможных движений: куда тело может попасть, а куда не может.

[Утундрий]

schekn в сообщении #929453 писал(а):

на форуме защищается ортодоксальная точка зрения на черные дыры прошлого века. Я привел как пример более революционное решение Глинера.

У меня по этому поводу диаметральное мнение... Не отвлекайтесь на философию, сперва нужно закончить с техникой. Причём сделать это должны именно вы, иначе толку никакого не будет. Поэтому в который уже раз призываю - задавайте вопросы только если что-то не получается, а не когда что-то не понятно. Понятно будет потом, если доберётесь.

-- Вт ноя 11, 2014 00:53:59 --

Someone в сообщении #929482 писал(а):

Причём здесь свет?

При том, что я попросил рассмотреть свет.