Аксиоматика натурального ряда чисел.

[Phaenomenon]

arseniiv, спасибо за ответ!
Дело в том, что у меня практически такая же математическая формулировка. Если заменить $x'$ и $x''$ , а их я вводил дабы наоборот, не запутаться в $a,b$ и $c$, то получится именно то, что написали Вы (только вот без квантора всеобщности). Но все же прибегая к штриховке, я ввожу инедексирование, чтобы блюсти строгий порядок независимой $i$ ($j$ я ввел для удобства).

-- 10.11.2014, 19:15 --

arseniiv в сообщении #929280 писал(а):

Другое дело, что индексы тут совершенно не ясно зачем.

Просто, как мне показалась, форма записи функции которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

[arseniiv]

Особенно интересен вид второй аксиомы, которая, если не ошибаюсь, «для каждого натурального числа существует [ровно одно] следующее натуральное число». Видимо, в ней корень зла.

-- Пн ноя 10, 2014 22:18:48 --

Хотя и первая тоже…

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #929277 писал(а):

Было бы глупо мне создавать тему, когда можно было бы спокойно слизать все с википедии -- нет уж, я не такой.

А какой? По-моему, вам пока рано соваться в основания математики. Используйте интуитивное представление о натуральных числах, для обычных задач этого достаточно.

Да, и в аксиоме индукции не нужно рассматривать какие-то "все" $k\le n$. Достаточно одного (произвольного) $k$, и чтобы из $P(k)$ следовало $P(Sk)$ в обозначениях arseniiv

Кстати, множество и последовательность - не одно и то же. Идея последовательности (как функции) состоит в том, что ее аргументы пробегают линейно упорядоченное множество, т.е. тот самый натуральный ряд, который строится с помощью аксиом Пеано.

[Phaenomenon]

arseniiv в сообщении #929276 писал(а):

Кстати, как у вас все предыдущие аксиомы записались?

Они очевидны:
Аксиома 1. Единица есть натуральное число. То есть

$$1 \in \mathbb{N}.$$

Аксиома 2. Число $x'$, следующее за натуральным числом $x$, тоже является натуральным. То есть

$$x_{i} \in \mathbb{N} \Rightarrow x_{i+1} \in \mathbb{N}.$$

Аксиома 3. Единица не следует ни за каким натуральным числом. То есть

$$x' \ne 1$$

или

$$\nexists x_{i} \in \mathbb{N} : x_{i+1}=1, \qquad i \geqslant 1.$$

Аксиома 4. Если натуральное число $x$ непосредственно следует как за числом $x'$, так и за числом $x'$', то $x'$ и $x''$ тождественны. То есть

$$?$$

Аксиома 5. Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа. То есть

$$1 \in X \land \forall x_{i}( x_{i} \in X \Rightarrow \forall x_{i+1} \in X) \Rightarrow X \subseteq \mathbb{N}.$$

Аксиома 6. Аксиома Евдокса–Архимеда. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует такое натуральное число $c$, что $ac>b$. Утверждение аксиомы Евдокса–Архимеда кажется тривиальным, однако ее подлинный смысл свидетельствует об отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин. То есть

$$\forall a,b \in \mathbb{N} \; \exists c \in \mathbb{N} : ac > b.$$

[provincialka]

Все. Я удаляюсь. Если человек жить не может без индексов - обсуждение бесполезно.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929287 писал(а):

А какой? По-моему, вам пока рано соваться в основания математики. Используйте интуитивное представление о натуральных числах, для обычных задач этого достаточно.

А по-моему с оснований математики надо и начинать. Мы же изучали арифметику в начальных классах не с таблицы умножения или той же теории чисел, а с самых-самых истоков: счету на пальчиках.

provincialka в сообщении #929287 писал(а):

Кстати, множество и последовательность - не одно и то же. Идея последовательности (как функции) состоит в том, что ее аргументы пробегают линейно упорядоченное множество, т.е. тот самый натуральный ряд, который строится с помощью аксиом Пеано.

Хорошо. Это я учту.

[provincialka]

Квантор внутри скобок лишний. И включение не в ту сторону.

Счёт на пальцах - это проявление конкретного, интуитивного мышления. Аксиоматический подход - прямая противоположность. Это все равно, что сравнивать сельское хозяйство и работу шахтеров. Чтобы посеять цветочки в саду, совершенно не обязательно раскапывать участок на 100 м в глубину. И даже вредно!

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929298 писал(а):

Все. Я удаляюсь. Если человек жить не может без индексов - обсуждение бесполезно.

Да дело тут не в этом. Таковой способ значительно легче дается мне в усваивании материала. Тем более индексирование здесь в самом наглядном его смысле -- в порядке, в счете и т.д. Я же не умею по-другому записывать подобные формулы. И тем более раз уж мне так легче, то почему бы и нет? Если это в корне не являются, естественно, ошибочным.

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929277 писал(а):

Было бы глупо мне создавать тему, когда можно было бы спокойно слизать все с википедии -- нет уж, я не такой.

Ну да, зато теперь видно, ум так и прёт. Книги читать тоже не стоит, видимо, — мало ли что…

arseniiv в сообщении #929284 писал(а):

Хотя и первая тоже…

— существует натуральное число, обозначаемое $0$,
— для любого натурального числа существует единственное следующее за ним натуральное число,
— если для двух натуральных чисел следующие за ними равны, то сами эти числа равны,
— $0$ не следует ни за каким натуральным числом,
— аксиома индукции.

Phaenomenon в сообщении #929296 писал(а):

Они очевидны:

Угу. Что такое $i$, что такое $+$, что такое $'$, что такое $\geq$? Очевидность атакует.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929302 писал(а):

Квантор внутри скобок лишний. И включение не в ту сторону.

Кстати, насчет включения мне так и не объяснили. Если я конечно тут еще всем не надоел.

Цитата:

Разве изменится смысл высказывания, если $X \subseteq \mathbb{N}$? Почему именно включение надмножества? Это типа указывание на то, что $X$ есть еще что-то кроме $\mathbb{N}$? Не могу до конца разобраться в этом моменте

[nnosipov]

Phaenomenon в сообщении #929299 писал(а):

А по-моему с оснований математики надо и начинать.

Основаниями математики надо заканчивать изучение математики. Радуйтесь жизни. Вырастите хотя бы один гладиолус.

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #929309 писал(а):

Ну да, зато теперь видно, ум так и прёт. Книги читать тоже не стоит, видимо, — мало ли что…

(Оффтоп)

Это вообще тут причем? Я ориентируюсь только на Бухштаба, собственные знания и находящихся здесь математиков, которые в отличие от такого скудоумного ответа как "посмотреть википедию" не поленятся объяснить все на своих пальцах. Если не хочется отвечать -- не отвечайте, но и остроумие в мою сторону не опускайте.

[provincialka]

Включение, тем более с палочкой внизу, допускает и возможность равенства. Именно его и надо здесь писать. Вернее, аксиома индукции означает, что высказывание $P(n)$ выполняется на всем (множестве) $\mathbb{N}$. А в вашей записи остается лазейка, что в $\mathbb{N}$ есть-таки элементы, для которых $P(n)$ не выполняется.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929302 писал(а):

Это все равно, что сравнивать сельское хозяйство и работу шахтеров. Чтобы посеять цветочки в саду, совершенно не обязательно раскапывать участок на 100 м в глубину. И даже вредно!

Хорошо, я Вас понял. И на этом спасибо

-- 10.11.2014, 19:52 --

Итак, сравнивая формулировку arseniiv

Цитата:

$$\forall m\in\mathbb N\;\forall n\in\mathbb N\; Sm = Sn \Rightarrow m = n.$$

И мою формулировку

Цитата:

$$(x_{j}' = x_{i} \land x_{j}'' = x_{i}) \Rightarrow x' = x'', \qquad j=i+1.$$

Какие здесь могут быть огласки еще, кроме придирок возражений к штрихам, $j$ и порядкового индекса $i$, которые были введены исключительно ради упрощения и более внятного понимания формулы, могут быть еще ошибки? Я это говорю лишь постольку, поскольку не хотелось бы в будущем наступать на такие же грабли. Естественно, я буду употреблять формулировку arseniiv. Поскольку вы ее признали. (а в науке так всегда -- истинно только то, что признанно).

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929317 писал(а):

которые были введены исключительно ради упрощения и более внятного понимания формулы

В вашей формуле написаны шесть разных символов, а аксиома звучит так: "если вот эти два числа равны между собой, и вот эти два числа равны между собой, то какие-то ещё два числа равны между собой".
Никаких особенных возражений — это просто полнейшая чушь. Кроме этого всё в порядке.